高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式第2课时学案设计

这是一份高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式第2课时学案设计，共4页。学案主要包含了做一做1，做一做2等内容，欢迎下载使用。
第2课时　基本不等式的应用1．复习巩固基本不等式．2．能利用基本不等式求函数的最值，并会解决有关的实际应用问题．1．重要不等式a2＋b2≥2ab(1)不等式的证明：课本应用了图形间的面积关系推导出了a2＋b2≥______，也可用分析法证明如下：要证明a2＋b2≥2ab，只要证明a2＋b2－2ab≥0，即证明(a－b)2≥0，这显然对a，b∈R成立，所以a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立．(2)关于不等式a2＋b2≥2ab的几点说明：①不等式中的a，b的取值是____实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式．②公式中等号成立的条件是______，如果a，b不能相等，则a2＋b2≥2ab中的等号不能成立．③不等式a2＋b2≥2ab可以变形为ab≤，4ab≤a2＋b2＋2ab,2(a2＋b2)≥(a＋b)2等．【做一做1】 不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．a＝±1  B．a＝1C．a＝－1  D．a＝02．基本不等式如果a，b为正实数，那么≥____，当且仅当a＝b时，式中等号成立．我们应该从以下几个方面来理解基本不等式：(1)基本不等式反映了两个正数的和与积之间的关系，对它的准确理解应抓住两点：一是其成立的条件是a，b都是____；二是“当且仅当_____”时等号成立．(2)它还可以描述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的____平均值．(3)基本不等式是非常重要又极为有用的不等式，它与不等式的性质构成了本章的公理体系，奠定了不等式的理论基础．【做一做2】 已知0＜α＜π，则2sin α＋的最小值是__________． 答案：1．(1)2ab　(2)①任意　②a＝b【做一做1】 B2.　(1)正数　a＝b　(2)几何　【做一做2】 2利用基本不等式解应用题的步骤剖析：(1)审清题意，读懂题；(2)恰当地设未知数，通常情况下把欲求最值的变量看成函数y；(3)建立数学模型，即从实际问题中抽象出函数的关系式，并指明函数的定义域，把实际问题转化为求函数最值的问题；(4)在函数的定义域内，利用基本不等式求出函数的最值；(5)根据实际问题写出答案．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．若取不到，则必须利用函数的单调性去求函数的最值．题型一  实际应用题【例题1】 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)分析：转化为求函数的最小值．反思：在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：①先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；②建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④根据实际背景写出答案．题型二  易错辨析【例题2】 求函数y＝的最小值．错解：y＝＝＋＝＋≥2，故y有最小值2.错因分析：错解中在用基本不等式求最值时，没考虑到定理成立的条件，实际上不论x取何值，总有≠.因此本题不能用基本不等式求解．反思：利用基本不等式求函数的最值时，若出现等号不成立时，则可借助于函数的单调性来解决． 答案：【例题1】 解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*)．所以f(x)＝560＋48x＋≥560＋2＝2 000，当且仅当48x＝，即x＝15时取等号．因此，当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2 000，即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．【例题2】 正解：设t＝，则y＝t＋，t≥.可以证明y＝t＋在[，＋∞)上为增函数，则y≥＋＝，即ymin＝，此时t＝，则x＝0.1函数y＝3x＋32－x的最小值为__________．2两直角边之和为4的直角三角形面积的最大值等于__________．3如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________ dm2.4函数y＝(x≥5)的最小值为__________．5已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？ 答案：1．6　2.2　3.56　4.5．解：设重组后，该企业年利润为y万元．当待岗人员不超过1%时，由＞0，x≤2 000×1%＝20，得0＜x≤20(x∈N)，则y＝(2 000－x)＝；当待岗人员超过1%且不超过5%时，由20＜x≤2 000×5%，得20＜x≤100(x∈N)，则y＝(2 000－x)(3.5＋0.9)－0.5x＝－4.9x＋8 800.故y＝当0＜x≤20，且x∈N时，有，则y＝≤－5×32＋9 000.64＝8 840.64，当且仅当x＝，即x＝16时取等号，此时y取得最大值8 840.64；当20＜x≤100，且x∈N时，函数y＝－4.9x＋8 800为减函数．所以y＜－4.9×20＋8 800＝8 702.又8 840.64＞8 702，故当x＝16时，y有最大值8 840.64.即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗．