高中数学2.2 等差数列第1课时导学案

第1课时　等差数列

1．理解等差数列的概念，明确“同一个常数”的含义．

2．掌握等差数列的通项公式及其应用．

3．会判定或证明等差数列；了解等差数列与一次函数的关系．

1．等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于__________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的______，通常用字母d表示．

(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．

(2)公差d∈R，当d＝0时，数列为常数列；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．

【做一做1】 等差数列4,7,10,13,16的公差等于__________．

2．通项公式

等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则通项公式是an＝________.

(1)如果数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(p，q是常数)，那么数列{an}是等差数列．

(2)如果数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n＞1，n∈N*)，那么数列{an}是等差数列．

【做一做2】 已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于(　　)

A．4－2n        B．2n－4

C．6－2n        D．2n－6

3．等差中项

如果三个数a，A，b成等差数列，那么____叫做______的等差中项．

等差中项的性质：

①A是a与b的等差中项，则

A＝或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．

②当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项．

【做一做3】 13与－11的等差中项m＝__________.

答案：1．(1)同一个常数　公差

【做一做1】 3

2．a1＋(n－1)d

【做一做2】 C

3．A　a与b

【做一做3】 1

1．对等差数列定义的理解

剖析：(1)等差数列定义中的关键词是：“从第2项起”与“同一个常数”．

①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

②如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差，尽管是常数，但这个数列也不一定是等差数列．这是因为这些常数可能不相同，必须是同一个常数，才是等差数列．

(2)也可以用数学符号语言叙述等差数列的定义：

在数列{an}中，如果an＋1－an＝d(常数)对任意n∈N*都成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差．

(3)公差是数列中的某一项(除第一项外)与其前一项的差，不可颠倒，即d＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a3－a2＝a2－a1.

(4)切忌只通过计算数列中特殊几项的差后，发现它们是同一个常数，就断言此数列为等差数列．

2．对等差数列通项公式的理解

剖析：(1)从函数的角度看等差数列的通项公式．

由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，an是关于n的一次函数，即(n，an)在一次函数y＝px＋q的图象上，因此从图象上看，表示等差数列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上．

所以公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排开的一群孤立的点．

当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀分布的一群孤立的点．

(2)由两点确定一条直线的性质可以得出，已知等差数列的任意两项可以确定这个等差数列．若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项．

(3)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个变数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”．

题型一  求等差数列的通项公式

【例题1】 若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求an.

分析：先求出a1，d，然后求an.

反思：一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式．

题型二  等差数列的判定与证明

【例题2】 已知数列{an}的通项公式为an＝4－2n，求证：数列{an}是等差数列．

分析：只需证明an＋1－an＝常数或an－an－1＝常数(n≥2)．

反思：已知数列{an}的通项公式an＝f(n)，用定义判断或证明{an}是等差数列的步骤：

(1)利用通项公式an＝f(n)写出an＋1＝f(n＋1)(或an－1＝f(n－1))；

(2)作差an＋1－an(或an－an－1)，将差变形；

(3)当差an＋1－an(或an－an－1)是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当差an＋1－an(或an－an－1)不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．

题型三  实际应用问题

【例题3】 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．

分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组成的等差数列的公差．又梯子的级数是12，因此，该问题相当于已知等差数列的首项、末项及项数求公差．

反思：解决实际应用问题的关键是建立数学模型，本题中的数学模型是已知等差数列的首项和末项及项数，求各项．

题型四  易错辨析

【例题4】 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，求证数列{an}为等差数列．

错解：因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，

所以a1＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2，

所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，

则a2－a1＝a3－a2，故数列{an}为等差数列．

错因分析：a3－a2＝a2－a1＝常数，不能满足等差数列的定义中“从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数”的要求．

反思：要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．

答案：【例题1】 解：由题意，知解得

故an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n＋4.

【例题2】 证明：∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n.

∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2.

∴{an}是等差数列．

【例题3】 解：设梯子的第n级的宽为an cm，其中最高一级宽为a1 cm，则数列{an}是等差数列．

由题意，得a1＝33，a12＝110，n＝12，

则a12＝a1＋11d.

所以110＝33＋11d，解得d＝7.

所以a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，…，a11＝96＋7＝103，

即梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm,68 cm,75 cm,82 cm,89 cm，96 cm，103 cm.

【例题4】 正解：因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，

所以an＋1＝10＋(n＋1)lg 2.

所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．

所以数列{an}为等差数列．

1 (2011·吉林长春高三调研)在等差数列{an}中，a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝(　　)

A．1      B．－1    C．±1     D．±2

2等差数列－3,1,5，…的第15项为(　　)

A．40      B．53     C．63     D．76

3等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是(　　)

A．92      B．47     C．46     D．45

4已知数列{an}的通项公式是an＝7n＋2，求证：数列{lg an}是等差数列．

5有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行铺瓦30块，总共需要铺瓦15行，并且下一行比其上一行多铺3块瓦，求该侧面最下面一行需铺瓦多少块？

答案：1．C　由题意解得d＝±1.

2．B　a1＝－3，d＝1－(－3)＝4，

故a15＝a1＋(15－1)d＝－3＋14×4＝53.

3．C　a1＝1，d＝(－1)－1＝－2，

故an＝a1＋(n－1)d＝3－2n，

令－89＝3－2n，解得n＝46.

4．分析：转化为证明lg an＋1－lg an是一个与n无关的常数．

证明：设bn＝lg an＝lg 7n＋2＝(n＋2)lg 7，

则bn＋1＝[(n＋1)＋2]lg 7＝(n＋3)lg 7，

则bn＋1－bn＝(n＋3)lg 7－(n＋2)lg 7＝lg 7＝常数．

所以数列{bn}是等差数列，

即数列{lg an}是等差数列．

5．分析：转化为求等差数列的第15项．

解：设从上面开始第n行铺瓦an块，则数列{an}是首项为30，公差为3的等差数列．

则a15＝a1＋14d＝30＋14×3＝72，

即该侧面最下面一行应铺瓦72块．