高中数学3.4 基本不等式导学案及答案

湖北省监利县第一中学高一数学 基本不等式学案

【使用说明及学法指导】1.先仔细阅读教材必修五P97—P100，用红色笔进行勾画；有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；2.限时15分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法。

【学习目标】

（1）学会推导不等式，理解基本不等式的几何意义。

（2）知道算术平均数、几何平均数的概念

（3）会用基本不等式求一些简单的最值问题

【课前预习】    

1、探究： 如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。你知道这其中含有哪些相等关系或不等关系吗？

     设小直角三角形的两条直角边为（），

     则正方形的边长为            ，正方形的面积为           。四个直角三角形的面积和为            。

            <            。           

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是               , ()                        。

结论：一般的,对于任意的实数,我们有                    （），当且仅当         时,等号成立.（）式称为重要不等式

请你用所学的知识证明重要不等式。

 2、如果 ,我们用分别代替（）中的,可得                   。我们通常把上式写成()，称之为基本不等式（也叫均值不等式）。

概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数, 且,

       是的            ，叫做的算术平均数，

          是的            ，叫做的几何平均数，

由基本不等式可得：的等差中项        的等比中项（），特别的，当时，的等差中项等于的等比中项。

3．的几何意义是什么？                

4.利用不等式的性质证明不等式（）

5.已知,则

（1） “积定和最小”：如果积xy是定值P,那么当       时，和x+y有最小值      ；

（2）“和定积最大”：如果和x+y是定值S,那么当        时，积xy有最大值       .

【预习自测】

1.已知，下列各式最大的是（  ）

A.        B.       C.      D.

2. 已知x0，若x＋的值最小，则x为（    ）.

A． 18    B． 9    C． 3    D．16

【我的疑惑】

探究一　利用基本不等式求函数的最值

例1，（1）. ,当取什么值，的值最小？最小值是多少？

（2）.,有最大值还是最小值？什么时候取到？

（3）.,求的值域.

探究二 利用基本不等式比较两个实数的大小                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

例2：设，试比较 的大小，并说明理由。                          

思考题1，已知，试比较P,Q,R的大小。

拓展：（1）已知，求的最大值；

（2）已知 求函数的最大值；

   （3）求函数的最小值

【当堂训练】

1. 求 的最值，并求取最值时的的值。

2.已知，求函数的最大值，并求相应的值。

 【我的收获】

1.知识方面                                                                                    

2.数学思想方法                                          

课题：§3.4基本不等式 （2）

编号：      使用时间：2014.4

【学习目标】

1. 进一步掌握基本不等式；

2.会用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.

3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

【课前预习】

1. 重要不等式：________________________________

2.基本不等式：­­­­­­________________________________

3两个不等式的变形形式                                     

【预习自测】

1：若，求的最小值

2：若，求的最大值.

3：求(x>5)的最小值.

【我的疑惑】

探究一  条件求最值

例2. （1） 已知正数满足，求的最小值.

      （2）已知正数满足，求的最小值.

探究二  用均值不等式解决实际问题

例2.某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元. 如果墙高为3，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

拓展：甲，乙两地相距skm，汽车从甲地均匀行驶到乙地，速度不得超过cKm/h.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（单位：Km/h)的平方成正比，且系数为b；固定部分为a元（).为了使全程的运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

【当堂训练】

1．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．

2. 若，则的最小值为     .

3. 已知两个正数满足，求使恒成立的的范围.

【我的收获】

1.知识方面                                                                                    

2.数学思想方法