高中数学人教版新课标A必修53.4 基本不等式导学案

3.6基本不等式

教学目标

1、 理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；

2、 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释

教学重点：两个不等式的证明和区别

教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵

教学过程

提问：教材上在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？那4个直角三角形的面积和呢？什么时候这两部分面积相等呢？

观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。

当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有

新课讲授

一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。

证明:

所以                      

注意强调  当且仅当时,

特别地,如果,

也可写成：,

要证:                            ①

即证                                              ②

要证②,只要证                                 ③

要证③,只要证        (        -        )           ④

显然, ④是成立的,当且仅当时, ④的等号成立

几何意义：

强调：一正，二定，三相等。

已知

①     如果积

②     如果和

拓展：，则

例1、求下列函数的最值

（1）             （2）

（3）                  (4)

例2、（1）,求的最小值。

（2）,求的最大值。

（3），求的最小值。

例3、求函数的值域。

例4、（1）设，求函数的最大值。

     （2）设的最小值。

归纳总结

比较两个重要不等式的联系和区别，一正，二定，三相等的检验。

课后思考：若