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    专题04:28. 2 解直角三角形及其应用 -期末考复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级下册
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    专题04:28. 2 解直角三角形及其应用 -期末考复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级下册

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    这是一份专题04:28. 2 解直角三角形及其应用 -期末考复习专题训练 2021-2022学年人教版数学九年级下册,共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    专题04:2022年人教新版九年级(下册)28. 2 解直角三角形及其应用 -期末考复习专题训练
    一、选择题(共10小题)
    1.如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°,那么从乙处看甲处,甲在乙的(  )
    A.俯角30°方向 B.俯角60°方向
    C.仰角30°方向 D.仰角60°方向
    2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tanA=,则BC的长度为(  )

    A.2 B.8 C. D.
    3.如图,在高2m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要(  )

    A.2m B.(2+2)m C.4m D.(4+2)m
    4.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔的正东方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为(  )

    A.40海里 B.40sin37°海里
    C.40cos37°海里 D.40tan37°海里
    5.如图,在正方形网格中,△ABC的各个顶点均为格点,则tan∠BAC的值是(  )

    A.1 B. C. D.2
    6.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则tanα的值是(  )

    A. B. C. D.
    7.在正方形网格中,△ABC如图放置,则tan∠CAB=(  )

    A. B. C. D.
    8.若sinA=cosB,下列结论正确的是(  )
    A.∠A=∠B B.∠A+∠B=90°
    C.∠A+∠B=180° D.以上结论均不正确
    9.如图,一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上,该轮船又从A处向正东方向行驶40海里到达B处,测得灯塔C在北偏西60°的方向上,则轮船在B处时与灯塔C之间的距离(即BC的长)为(  )

    A.海里 B.海里
    C.80海里 D.海里
    10.如图,要测量小河两岸相对的两点P、A之间的距离,可以在小河边PA的垂线PB上取一点C.测得PC=80米,∠PCA=32°,则PA的长为(  )

    A.80sin32°米 B.80tan32°米 C.米 D.米
    二、填空题(共5小题)
    11.如图,坡面CD的坡比为,坡顶的平地BC上有一棵小树AB,当太阳光线与水平线夹角成60°时,测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米,斜坡上的树影CD=米,则小树AB的高是   .

    12.如图,点P、A、B、C在同一平面内,点A、B、C在同一直线上,且PC⊥AC,在点A处测得点P在北偏东60°方向上,在点B处测得点P在北偏东30°方向上,若AP=12千米,则A,B两点的距离为   千米.

    13.如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan∠BAC的值为   .

    14.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离),那么这棵树高是   m.

    15.小区有一坡度为1:2的楼梯CD,CD=6米,小亮从家里阳台点B处看楼梯顶部C点的俯角为34°,看楼梯底部D点的俯角为53°,小亮家距地面的距离AB约为   米.(tan34°≈,tan53°≈)
    三、解答题(共5小题)
    16.如图:小明同学正在操场上放风筝,风筝从A处起飞,几分钟后便飞达C处,此时,在AQ延长线上B处的小亮同学,发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
    (1)已知AB为30米,若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°,A处测得点P的仰角为45°,试求旗杆高;
    (2)此时,在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°,绳子在空中视为一条线段,求绳子AC为多少米?(结果保留根号)

    17.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图,图2是其示意图.汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方,AB与水平线AD之间的夹角是5°,卸货时,车厢与水平线AD成60°,此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°,若AC=2米,求BC的长度.(结果保留一位小数)

    (参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,≈1.41)
    18.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
    (1)求证:AC=BD;
    (2)若sinC=,BC=12,求△ABC的面积.

    19.速滑运动受到许多年轻人的喜爱,如图,梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台,已知CD∥EG,高DG为4米,且坡面BC的坡度为1:1.后来为了提高安全性,决定降低坡度,改造后的新坡面AC的坡度为1:.
    (1)求新坡面AC的坡角度数;
    (2)原坡面底部BG的正前方10米(EB的长)处是护墙EF,为保证安全,体育管理部门规定,坡面底部至少距护墙7米.请问新的设计方案能否通过,试说明理由.(参考数据:≈1.73)

    20.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度,在河的北岸边点A处,测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向,然后向北走20米到达点C处,测得点B在点C的南偏东33°方向,求出这段河的宽度.(结果精确到1米,参考数据:sin33°=0.54,cos33°≈0.84,tan33°=0.65,≈1.41)


    专题04:2022年人教新版九年级(下册)28. 2 解直角三角形及其应用 -期末考复习专题训练
    参考答案与试题解析
    一、选择题(共10小题)
    1.如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°,那么从乙处看甲处,甲在乙的(  )
    A.俯角30°方向 B.俯角60°方向
    C.仰角30°方向 D.仰角60°方向
    【解答】解:如图所示:∵甲处看乙处为俯角30°,
    ∴乙处看甲处为:仰角为30°.

    故选:C.
    2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tanA=,则BC的长度为(  )

    A.2 B.8 C. D.
    【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,
    ∴tanA===,
    ∴BC=2.
    故选:A.
    3.如图,在高2m,坡角为30°的楼梯表面铺地毯地毯的长度至少需要(  )

    A.2m B.(2+2)m C.4m D.(4+2)m
    【解答】解:如图,

    由题意得:地毯的竖直的线段加起来等于BC,水平的线段相加正好等于AC,
    即地毯的总长度至少为(AC+BC),
    在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2m,∠C=90°.
    ∵tanA=,
    ∴AC=BC÷tan30°=2.
    ∴AC+BC=2+2.
    故选:B.
    4.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔的正东方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离PB的长可以表示为(  )

    A.40海里 B.40sin37°海里
    C.40cos37°海里 D.40tan37°海里
    【解答】解:∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,
    ∴∠BAP=37°,
    ∵AP=40海里,
    ∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里;
    故选:B.
    5.如图,在正方形网格中,△ABC的各个顶点均为格点,则tan∠BAC的值是(  )

    A.1 B. C. D.2
    【解答】解:由图可知,△ABC为直角三角形,且AC=2,BC=1.
    ∴tan∠BAC==.
    故选:C.
    6.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则tanα的值是(  )

    A. B. C. D.
    【解答】解:如图所示:∵AC=3,BC=4,∠ACB=90°,
    ∴tanα==
    故选:C.

    7.在正方形网格中,△ABC如图放置,则tan∠CAB=(  )

    A. B. C. D.
    【解答】解:在Rt△ABC中,
    ∵BC=2,AB=3,
    ∴tan∠CAB=.
    故选:B.
    8.若sinA=cosB,下列结论正确的是(  )
    A.∠A=∠B B.∠A+∠B=90°
    C.∠A+∠B=180° D.以上结论均不正确
    【解答】解:如图在Rt△ABC中,∠C=90°,
    ∵sinA=cosB,
    ∴∠A+∠B=90°.
    故选:B.

    9.如图,一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上,该轮船又从A处向正东方向行驶40海里到达B处,测得灯塔C在北偏西60°的方向上,则轮船在B处时与灯塔C之间的距离(即BC的长)为(  )

    A.海里 B.海里
    C.80海里 D.海里
    【解答】解:过A作AD⊥BC于D,
    在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=40,
    ∴AD=AB=20,BD=AB=20,
    在Rt△ACD中,∵∠C=45°,
    ∴CD=AD=20,
    ∴BC=BD+CD=(20+20)海里,
    故选:B.

    10.如图,要测量小河两岸相对的两点P、A之间的距离,可以在小河边PA的垂线PB上取一点C.测得PC=80米,∠PCA=32°,则PA的长为(  )

    A.80sin32°米 B.80tan32°米 C.米 D.米
    【解答】解:由题意得:∠APC=90°,
    在Rt△APC中,PC=80米,∠PCA=32°,
    ∵tan∠PCA=,
    ∴PA=PC•tan∠PCA=80tan32°(米);
    故选:B.
    二、填空题(共5小题)
    11.如图,坡面CD的坡比为,坡顶的平地BC上有一棵小树AB,当太阳光线与水平线夹角成60°时,测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米,斜坡上的树影CD=米,则小树AB的高是 米 .

    【解答】解:由已知得Rt△AFD,Rt△CED,如图,且得:∠ADF=60°,FE=BC,BF=CE,
    在Rt△CED中,设CE=x,由坡面CD的坡比为,得:
    DE=x,则根据勾股定理得:
    x2+=,
    得x=±,﹣不合题意舍去,
    所以,CE=米,则,ED=米,
    那么,FD=FE+ED=BC+ED=3+=米,
    在Rt△AFD中,由三角函数得:
    =tan∠ADF,
    ∴AF=FD•tan60°=×=米,
    ∴AB=AF﹣BF=AF﹣CE=﹣=4米,
    故答案为:4米.

    12.如图,点P、A、B、C在同一平面内,点A、B、C在同一直线上,且PC⊥AC,在点A处测得点P在北偏东60°方向上,在点B处测得点P在北偏东30°方向上,若AP=12千米,则A,B两点的距离为 4 千米.

    【解答】解:∵PC⊥AC,在点A处测得点P在北偏东60°方向上,
    ∴∠PCA=90°,∠PAC=30°,
    ∵AP=12千米,
    ∴PC=6千米,AC=6千米,
    ∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上,∠PCB=90°,PC=6千米,
    ∴∠PBC=60°,
    ∴BC===2千米,
    ∴AB=AC﹣BC=6﹣2=4(千米),
    故答案为:4千米.
    13.如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则tan∠BAC的值为 1 .

    【解答】解:连接BC,
    由网格可得AB=BC==,AC==,
    ∴AB2+BC2=AC2,
    ∴△ABC为等腰直角三角形,
    ∴∠BAC=45°,
    则tan∠BAC=1,
    故答案为:1.

    14.如图,小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度,已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为1.5m(即小颖的眼睛距地面的距离),那么这棵树高是  m.

    【解答】解:过A作AD⊥CE于D,
    ∵AB⊥BE,DE⊥BE,AD⊥CE,
    ∴四边形ABED是矩形,
    ∵BE=5m,AB=1.5m,
    ∴AD=BE=5m,DE=AB=1.5m.
    在Rt△ACD中,
    ∵∠CAD=30°,AD=5m,
    ∴CD=AD•tan30°=5×=,
    ∴CE=CD+DE=+1.5=(+)m.
    答:这棵树高是(+)m.
    故答案为:+.
    15.小区有一坡度为1:2的楼梯CD,CD=6米,小亮从家里阳台点B处看楼梯顶部C点的俯角为34°,看楼梯底部D点的俯角为53°,小亮家距地面的距离AB约为 28 米.(tan34°≈,tan53°≈)
    【解答】解:如图,过点C作CM⊥AB于点M,

    根据题意可知:
    ∠BCM=34°,∠BDA=53°,CE:DE=1:2,
    在Rt△CDE中,DE=2CE,CD=6(米),
    ∴CD2=CE2+DE2,
    即36×5=5CE2,
    解得CE=±6(负值舍去),
    ∴CE=6(米),
    ∴DE=12(米),
    在Rt△BCM中,∠BCM=34°,CM=AE=DE+AD=(12+AD)米,
    ∴tan∠BCM=,
    ∴BM=tan34°×(12+AD)=(12+AD),
    即BM=(12+AD)①,
    在Rt△BAD中,∠BDA=53°,AB=AM+BM=(6+BM)米,
    ∴tan∠BDA=,
    ∴AB=AD•tan53°,
    即6+BM=AD②,
    将①代入②得,AD=21(米),
    ∴BM=22(米),
    ∴AB=BM+AM==BM+CE=22+6=28(米),
    答:小亮家距地面的距离AB约为28米.
    故答案为:28.
    三、解答题(共5小题)
    16.如图:小明同学正在操场上放风筝,风筝从A处起飞,几分钟后便飞达C处,此时,在AQ延长线上B处的小亮同学,发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.
    (1)已知AB为30米,若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°,A处测得点P的仰角为45°,试求旗杆高;
    (2)此时,在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°,绳子在空中视为一条线段,求绳子AC为多少米?(结果保留根号)

    【解答】解:(1)设旗杆的高PQ=xm,
    在RT△APQ中,∵∠PAQ=45°,
    ∴AQ=PQ=x,
    在RT△BPQ中,∵∠B=30°,
    ∴BQ==x,
    ∵AQ+BQ=AB,且AB=30,
    ∴x+x=30,解得:x=15﹣15,
    故旗杆高度为(15﹣15)m;
    (2)过A作AE⊥BC于E,

    在Rt△ABE中,∵∠B=30°,AB=30m,
    ∴AE=sin30°×AB=15m,
    ∵∠CAD=75°,∠B=30°,
    ∴∠C=45°,
    在Rt△CAE中,∵sin∠C=,
    ∴AC==15m,
    故绳子AC为15米.
    17.如图1是自动卸货汽车卸货时的状态图,图2是其示意图.汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆BC的底部支撑点B在水平线AD的下方,AB与水平线AD之间的夹角是5°,卸货时,车厢与水平线AD成60°,此时AB与支撑顶杆BC的夹角为45°,若AC=2米,求BC的长度.(结果保留一位小数)

    (参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75,≈1.41)
    【解答】方法一:解:如图1,过点C作CF⊥AB于点F,
    在Rt△ACF中,
    ∵sin∠CAB=sin(60°+5°)=sin65°=,
    ∴CF=AC•sin65°≈2×0.91=1.82(米),
    在Rt△BCF中,
    ∵∠ABC=45°,
    ∴CF=BF,
    ∴BC=CF=1.41×1.82=2.5662≈2.6(米),
    答:所求BC的长度约为2.6米.

    方法二:解:如图2,过点A作AE⊥BC于点E,
    在Rt△ACE中,∵∠C=180°﹣65°﹣45°=70°,
    ∴cosC=cos70°=,
    即CE=AC×cos70°≈2×0.34=0.68(米),
    sinC=sin70°=,
    即AE=AC×sin70°≈2×0.94=1.88(米),
    又∵在Rt△AEB中,∠ABC=45°,
    ∴AE=BE,
    ∴BC=BE+CE=0.68+1.88=2.56≈2.6(米),
    答:所求BC的长度约为2.6米.


    18.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
    (1)求证:AC=BD;
    (2)若sinC=,BC=12,求△ABC的面积.

    【解答】(1)证明:∵AD是BC边上的高,
    ∴∠ADB=∠ADC=90°,
    ∵tanB=cos∠DAC,
    ∴=,
    ∴BD=AC;
    (2)解:设AC=BD=x,
    ∴CD=BC﹣BD=12﹣x,
    ∵sinC=,
    ∴cosC=,tanC=,
    ∴=,=,
    即=,
    解得:x=,
    ∴CD=12﹣x=,
    ∴AD=CD=×=8,
    ∴△ABC的面积=BC×AD=×12×8=48.
    19.速滑运动受到许多年轻人的喜爱,如图,梯形BCDG是某速滑场馆建造的速滑台,已知CD∥EG,高DG为4米,且坡面BC的坡度为1:1.后来为了提高安全性,决定降低坡度,改造后的新坡面AC的坡度为1:.
    (1)求新坡面AC的坡角度数;
    (2)原坡面底部BG的正前方10米(EB的长)处是护墙EF,为保证安全,体育管理部门规定,坡面底部至少距护墙7米.请问新的设计方案能否通过,试说明理由.(参考数据:≈1.73)

    【解答】解:(1)如图,过点C作CH⊥BG,垂足为H,则CH=DG=4,
    ∵新坡面AC的坡度为1:,
    ∴tan∠CAH==,
    ∴∠CAH=30°,即新坡面AC的坡角为30°;
    (2)新的设计方案能通过,
    ∵坡面BC的坡度为1:1,
    ∴BH=CH=4,
    ∵tan∠CAH==,
    ∴AH=CH=4
    ∴AB=AH﹣BH=4﹣4,
    ∴AE=EB﹣AB=10﹣(4﹣4)=14﹣4≈7.08>7,
    ∴新的设计方案能通过.

    20.某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度,在河的北岸边点A处,测得河的南岸边点B处在其南偏东45°方向,然后向北走20米到达点C处,测得点B在点C的南偏东33°方向,求出这段河的宽度.(结果精确到1米,参考数据:sin33°=0.54,cos33°≈0.84,tan33°=0.65,≈1.41)

    【解答】解:如图,延长CA交BE于点D,

    则CD⊥BE,
    由题意知,∠DAB=45°,∠DCB=33°,
    设AD=x米,
    则BD=x米,CD=(20+x)米,
    在Rt△CDB中,=tan∠DCB,
    ∴=tan33°≈0.65,
    解得x≈37,
    答:这段河的宽约为37米.


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