人教版新课标A必修52.1 数列的概念与简单表示法教学设计及反思

数学：2.1《数列的概念与简单表示法》教案（新人教A版必修5）（原创）

数列的概念与简单表示法

一、教材依据：人民教育出版社（A版） 数学必修5   第二章   第一节

二、设计思想：

   1、教材分析：数列是高中数学的重要内容之一，它有着广泛的应用，是学生今后进一步学习的基础知识，也是培养学生数学能力的良好题材。本节先通过实例归纳出数列的概念，然后介绍数列的通项公式，最后通过例题分析介绍数学思考的方法。

   2、学情分析：高一学生已具有一定的分析能力和归纳概括能力，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数和方程的思想也已经有了深刻的体会。

   3、设计理念：我在设计本节课时，力求强调过程，让学生探索新知识产生的经历和体验获得新知的愉悦，努力创造一些数学情景，让学生自己去发现知识的产生过程，充分发挥学生在课堂上的主体地位，激发学生的学习兴趣，提高他们分析问题、解决问题的能力。

   4、教学指导思想：结合学生的实际情况及本节的内容特点，我采用“点拨引导、自主探究”的教学方法。通过教师点拨引导，学生自主探究，学会用找差异、找联系的方法去认识问题，学会从大量实例中提炼数学定义，学会数学问题的思考和解决。

三、教学目标：

   知识与能力：理解数列及其有关概念；了解数列与函数的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列会根据其前几项写出它的通项。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力。

情感、态度、价值观：通过本节的学习，使学生体会数学来源于生活，感受数学发现的愉快，体验解决问题成功的快乐。

四、教学重点：了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊的函数，体会数列是反映自然规律的数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法。

五、教学难点：将数列作为一种特殊的函数去认识，了解数列与函数之间的联系。

六、教学准备：根据本节的知识特点，为突出重点，突破难点，增加教学容量，我利用计算机辅助教学，通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，提高学生的数学学习兴趣。

七、教学过程：

（一）创设情境，课题导入：

  （学生自己阅读课本31页的例子）

   三角形数：1、3、6、10 … …

   正方形数：1、4、9、16、25 … …

   提出问题：同学们观察这两个例子，能否再列举一些这样的例子？

   （同学们观察、讨论，师生一起再举一些例子）

全体自然数：0、1、2、3、4… …

精确到1，0.1，0.01，0.001 … …的不足近似值：1、1.4、1.41、1.414… ….

        过剩近似值：2、1.5、1.42、1.415   … …      

-1的1次幂，2次幂，3次幂… …：-1，1，-1，1，-1，1，….         

无穷多个2：2、2、2、2… …

（二）设置问题，形成概念

   师：观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）

（学生分组讨论，可能会有不同的答案：有的是递增的；前数与后数的差符合一定的规律；都是按一定的顺序排列的；甚至有的学生从奇、偶性上考虑等）

教师引导归纳出数列及有关定义

1．  数列：按照一定顺序排列着的一列数称为数列；

2．  项：数列中的每一个数叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项…。

如：上述例子均是数列，其中例：“0”是这个数列的第1项（或首项）“4”是这个数列的第5项。

数列的一般形式：，，，…，，…简记为 ，其中 是数列的第n项。

思考：（1）仅仅是数列的第n项吗？

（经过学生的思考、讨论，明白了有时是数列的第n项，确定的，有时代表任意项，即具有任意性。）

（2）数列中的项有何特点？（引导学生结合集合中元素的“无序性”和“互异性”来考虑）

师：将数列中的4和3互换顺序，还是原来的数列吗？数列中的数可不可以是一样的？

（师生一起深入研究数列的有关概念，总结出数列的项具有有序性和可重复性的特点）

4、数列的分类：（引导学生依据集合的分类来分析）

（1）按项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列

                      无穷数列：项数无限的数列

（2）按数列项的大小分

    递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。如（1）

    递减数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。如（2）

    常数数列：各项相等的数列。如（4）

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。如（3）

（三）数列的通项公式：

下面我们来研究这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式来表示？（引导学生进一步理解数列的定义，从而发现数列的通项公式）

教师举一个例子来引导：

项                      … …

↓   ↓    ↓    ↓    ↓

序号  1    2     3     4     5… …

师：由此可见，这个数列的项与这一项的序号可用一个公式： 来表示其对应关系。也就是说，数列的项与序号之间存在着内在的、必然的规律。（给出通项公式的概念）

通项公式：如果数列｛｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式。

         （让学生讨论、归纳（1）、（2）、（3）、（4）的通项公式）

 教师总结:并不是所有的数列都有通项公式如（2），有些数列的通项公式不唯一如（3）: ; ; 

通项公式的作用：（1）、求数列中任意一项； （2）、检验某数是不是该数列中的项

通项公式的应用：（学生讲解，教师引导总结）

例一：已知数列的前4项，写出它的通项公式：

     （1） 1、、、

     （2） 2、0、2、0

     （3） 、、、

     （4） 、、、

例二、根据数列的通项公式，写出它的前五项

      （1）        （2）

      （3）     （4）

(四)数列与函数的关系：

  师：由数列的通项公式观察数列中的数与序号之间存在什么关系？

生：在教师的引导下，联想到函数间的变量依赖关系，认识到数列是函数。

师：数列的定义域、值域分别是什么？

生：学生对定义域的陈述可能不严格或不完整，要引导学生注意回答的全面性。

师：在定义域的约束下，数列的图像有什么特点？

生：一系列孤立的点。

（五）递推公式：

（在教师的引导下，学生阅读课本35页例2，从中领会数列的表示法之一：递推公式法）

 递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）且任一项与它的前一项（或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做数列的递推公式。

 （师生一起分析课本36页例3，以加深对递推公式的认识。）

（六）数列的表示法：

    数列可以看作一种特殊的函数，教师引导学生回忆函数的表示方法来归纳数列的表示法------列举法、通项公式、递推公式、图像法。

 课堂检测反馈：

1、根据下面数列的前几项，写出它的一个通项公式：

（1）、3、5、9、17、33… …

（2）、0、1、0、1、0、1… …

（3）、、、、、… …

（4）、9、99、999、9999… …

（5）、0.9、0.99、0.999、0.9999… …

2、根据下列数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳通项公式

  （1）、，

  （2）、，

(七)课时小结：

1、你怎样理解“数列是刻画自然规律的数学模型”？

2、对数列与函数的关系，你是怎样理解的？

（通过学生的讨论、交流，教师的总结、评价，加深对函数概念的认识）

（八）课后作业：

课本35页练习第3、4题

八、教学反思：这一节课是概念教学，教学中难处理的地方：一是实际情境与分析，确保简洁，把握本质；二是在讲解数列与函数的联系，如何过渡比较自然。本节课的教学理念很明确----探究式教学，构建主义理论是教学方法的依据，注重提出问题，带领学生寻找解决问题的途径，体验解题过程，从而提高解决问题的能力。在教学过程中，学生的知识结构被构建，数学思想方法被激活，创新意识被唤起。