数学人教版新课标A2.1 数列的概念与简单表示法综合训练题

课时作业(二十九)　[第29讲　数列的概念与简单表示法]

 [时间：45分钟　　分值：100分]

1．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a3＝(　　)

A．8  B．4

C．2  D．1

2．[2011·福州一模] 把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图K29－1所示)，则第七个三角形数是(　　)

图K29－1

A．27  B．28

C．29  D．30

3．设数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)2，则a9＋a10＝(　　)

A．16  B．24

C．32  D．48

4．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，写出数列{an}的一个通项公式an＝________.

5．已知数列，，3，，…，则是该数列的(　　)

A．第6项  B．第7项

C．第9项  D．第11项

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－16n，第k项满足6<ak<9，则k＝(　　)

A．13  B．12

C．10  D．9

7．设数列{an}的通项公式为an＝20－4n，前n项和为Sn，则Sn中最大的是(　　)

A．S3  B．S4或S5

C．S5  D．S6

8．n个连续自然数按规律排成下表：

01234567891011…

根据规律，从2011到2013的箭头方向依次为(　　)

A．↓→  B．→↑

C．↑→  D．→↓

9．[2011·济南模拟]  设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为∏n，则∏2012的值为(　　)

A．－  B．－1

C.  D．1

10．1，，，，…的一个通项公式是________．

11．设数列{an}的前n项和为Sn，对于所有n∈N*，Sn＝，且a4＝54，则a1＝________.

12．数列{an}中，an＝，若Sn＝7，则n＝________.

13．[2011·永州模拟] 一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实心圆，○表示空心圆)：

●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○

若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2013个圆中，空心圆的个数为________．

14．(10分)[2011·南京模拟]  设数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)(n＝1,2,3，…)均在直线y＝2x＋1上．

(1)求a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

15．(13分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<1.

16．(12分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2＝a1＋a3，数列{}是公差为d(d≠0)的等差数列，求数列{an}的通项公式(用n、d表示)．

课时作业(二十九)

【基础热身】

1．A　[解析] 由S1＝2(a1－1)得a1＝2；由S2＝2(a2－1)得a2＝4；由S3＝2(a3－1)得a3＝8.故选A.

2．B　[解析] 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律可得第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝＝28，故选B.

3．C　[解析] a9＋a10＝S9－S8＋S10－S9＝S10－S8＝92－72＝32.故选C.

4．2n－1　[解析] 因为1＝2－1,3＝4－1＝22－1,7＝8－1＝23－1,15＝16－1＝24－1，…联想到2n，可以归纳出通项公式为an＝2n－1.

【能力提升】

5．C　[解析] 原数列可写成、、、、…，可以看出根号内的数是从5开始的奇数构成的数列，所以21＝5＋(n－1)×2，所以n＝9.故选C.

6．B　[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－17，当n＝1时，a1＝－15，满足上式，所以通项公式是an＝2n－17.因为6<ak<9，所以6<2n－17<9，即11.5<n<13，又因为k∈N*，所以k＝12.故选B.

7．B　[解析] 该数列是单调递减数列，由an＝20－4n≥0得n≤5，故当n>5时，an<0，所以S4或S5最大．故选B.

8．D　[解析] 观察4的倍数0,4,8，…的位置．由于2012是4的倍数，故指向2012的箭头是→，从2012指出的箭头是↓.故选D.

9．D　[解析] 因为an＋2＝1－＝1－＝，

an＋3＝1－＝an，

所以{an}是周期为3的周期数列．又a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，从而∏3＝－1，

所以∏2012＝(－1)670×2×＝1.故选D.

10．an＝　[解析] 若把换成，同时首项1换成，规律就出现了．

11．2　[解析] 因为a4＝S4－S3＝40a1－13a1＝27a1＝54，所以a1＝2.

12．63　[解析] an＝＝－，所以Sn＝－1，当Sn＝7时，有－1＝7，所以n＝63.

13．448　[解析] 复制一次得圆总数为27个，其中空心圆的个数为6个，要得到2013个圆，需先复制74次，再复制前15个圆即可，所以空心圆的个数为74×6＋4＝448.

14．[解答] (1)由已知可得an＋1＝2an＋1，所以a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15.

(2)因为an＋1＝2an＋1，所以可设an＋1＋λ＝2(an＋λ)，得an＋1＝2an＋λ，所以λ＝1，

于是an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是等比数列，首项为2，公比为2，

所以通项公式为an＋1＝2×2n－1，即an＝2n－1.

15．[解答] (1)由已知得

故2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，

故an＝3an－1(n≥2)．

故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.

又当n＝1时，2a1＝3a1－3，

所以a1＝3，所以an＝3n.

(2)证明：bn＝＝－.

所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－<1.

【难点突破】

16．[解答] 由题意知d>0，＝＋(n－1)d＝＋(n－1)d，

由2a2＝a1＋a3，得3a2＝S3，所以3(S2－S1)＝S3，

即3[(＋d)2－a1]＝(＋2d)2，

化简得a1－2·d＋d2＝0，所以＝d，a1＝d2.

所以＝d＋(n－1)d＝nd，Sn＝n2d2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝

(2n－1)d2，

当n＝1，a1＝d2满足上式．

所以所求的通项公式为an＝(2n－1)d2.