第二十三讲 排列、组合学案

这是一份第二十三讲 排列、组合学案，共7页。

1排列概念
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素取出m个元素的一个排列．
2排列数公式
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同的元素取出m个元素的排列数，用符号Anm表示．
Amn=n×(n-1)×(n-2)×⋅⋅⋅×[(n-m+1)]
这里，n，m∈N*,并且m≤n．这个公式就叫做排列数公式．
3全排列
n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，记作Ann，也称为n的阶乘，通常用n!表示，即Ann=n!．规定0!=1．
Ann=n×(n-1)×(n-2) ×⋅⋅⋅×3×2×1=n!．
4排列公式的另外一种形式
排列数公式还可以写成Anm=n!(n-m)!．
【小练习】
1．计算(1) A62= ；(2) A53= ；(3) A44= ；(4) 4!= ．
2．计算 A85+A84A96-A95 = ．
3．18×17×16×15×14×13×12×11等于( )
A．A188 B．A189 C．A1810 D．A1811
4．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译，导游，导购和保洁四种不同工作，则选派方案有( )
A．180种 B．360种 C．15种 D．30种
5．有四位司机，四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有( )
A．A88 B．A84 C．A44∙A44 D．A44
6．2位男生和3位女生共5位同学站成一派，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为( )
A．36 B．42 C．48 D．60
7．从0，1中选一个数字，从2，4，6中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ．
1．组合概念
一般地，从n个不同的元素中，取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数公式
从n个不同的元素中，取出m (m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数．用符号Cnm表示．
Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)⋅⋅⋅(n-m+1)m!．
这里n，m∈N+，并且m≤n．这个公式叫做组合数公式．
因为Anm=n!(n-m)!，所以Cnm=n!m!(n-m)!．
另外，我们规定Cn0=1．
3．组合数的性质
性质1：Cnm=Cnn-m
性质2：Cn+1m=Cnm+Cnm-1
性质3：kCnk=nCn-1k-1
【小练习】
1．计算(1) C62= ；(2) C53= ；(3) C44= ；(4) C52= ；
(5) C66= ；(6) C61= ；(7) C60= ；(8) C65= ；
2．计算下列各式中的x：
(1) C202x-1=C20x+3 (2) C28x=C283x+8 (3) C10x=C103x-2
3．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2各黑球，从中取3个球，则共有( )种不同的取法．
A．C61C22 B．C62C21 C．C63 D．C83
4．下列式子中，与C85的值不相等的是( )
A．C83 B．A83A33 C．A85A55 D．A83A55
考点1:排列问题
1．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端.
考点2:组合问题
2．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员.
考点3:综合问题
3．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.
（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？
（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
1．从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男，女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）
A．70 种 B．80种 C．100 种 D．140 种
2．亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A．48 种 B．12种 C．18种 D．36种
3．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）
A．48 B．12 C．180 D．162
4．甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）
A．6 B．12 C．30 D．36
6．用0 到9 这10 个 数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．324 B．328 C．360 D．648
7．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙 至少有1人入选，而丙 没有入选的不同选法的总数为（ ）
A．85 B．56 C．49 D．28
8．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的总数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．30
9．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．360 B．288 C．216 D．96
【方法补充】
1. 特殊元素（位置）优先排列
例1. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？
2. 相邻问题用捆绑法
例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？
3. 相离问题用插空法
例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
4. 定序问题用除法
例4. 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？
5. 分排问题用直排法
例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？
6. 排列、组合综合问题用先选后排的策略
例6. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？
7. 隔板模型法
例7. 有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？