多维层次练56-排列组合学案

这是一份多维层次练56-排列组合学案，共8页。

1．5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有( )
A．24种 B．36种
C．48种 D．72种
解析：首先从除学生甲外的4人中先选2人排在两端，共有Aeq \\al(2,4)种排法，然后对其余的3人任意排，共有Aeq \\al(3,3)种排法，根据分步乘法计数原理可得不同站法共有Aeq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝72(种)，故选D.
答案：D
2．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )
A．16 B．18
C．24 D．32
解析：将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)方法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空当中，有4种方法，故共有4×6＝24(种)方法．
答案：C
3．从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( )
A．72 B．70
C．66 D．64
解析：从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有Ceq \\al(1,2)·Ceq \\al(1,7)＋Ceq \\al(1,7)·Ceq \\al(1,6)＝56(种)选法，三个数相邻共有Ceq \\al(1,8)＝8(种)选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64(种)选法．
答案：D
4．中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选一书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．54种
解析：①若甲选《春秋》，则有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝18种情况；②若甲不选《春秋》，则有Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(3,3)＝36种情况．所以5名同学所有可能的选择有18＋36＝54(种)．故选D.
答案：D
5．某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
解析：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．
答案：A
6．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A．18种 B．24种
C．36种 D．48种
解析：①若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝12(种)；
②若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(2,3)＝12(种)；
③若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,2)Ceq \\al(2,3)＝6(种)；若甲、乙抢的是两个6元，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有Aeq \\al(2,3)＝6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有12＋12＋6＋6＝36(种)．故选C.
答案：C
7．(2020·全国卷Ⅱ)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
解析：由题意，分两步进行安排，第一步，将4名同学分成3组，其中1组2人，其余2组各1人，有Ceq \\al(2,4)＝6种安排方法；第二步，将分好的3组安排到对应的3个小区，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)安排方法，所以不同的安排方法有6×6＝36(种)．
答案：36
8．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是______________．
解析：根据题意，分三步进行分析，①要求语文与化学相邻，将语文和化学看成一个整体，考虑其顺序，有Aeq \\al(2,2)＝2(种)情况；②将这个整体与英语全排列，有Aeq \\al(2,2)＝2(种)情况，排好后，有3个空位；③数学课不排第一节，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，安排物理，有2种情况，则数学、物理的安排方法有2×2＝4(种)，则不同排课方案的种数是2×2×4＝16.
答案：16
9．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有________种．
解析：若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有Ceq \\al(1,5)种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有Ceq \\al(2,4)种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)＝30(种)搜寻方案；若Grace参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有Ceq \\al(2,5)种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有Ceq \\al(2,5)＝10(种)搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40(种)搜寻方案．
答案：40
10．已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．
(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法种数是________；
(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法种数是________．
解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq \\al(4,6)种不同的测试方法，再从4件次品中选2件排在第5次和第10次的位置上测试，有Aeq \\al(2,4)种测试方法，再排余下4件的测试位置，有Aeq \\al(4,4)种测试方法．所以共有Aeq \\al(4,6)·Aeq \\al(2,4)·Aeq \\al(4,4)＝103 680(种)不同的测试方法．
(2)第5次测试的产品恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(1,6)·Aeq \\al(4,4)＝576(种)不同的测试方法．
答案：(1)103 680 (2)576
[综合应用练]
11．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八封算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )
A.eq \f(Ceq \\al(4,14)Ceq \\al(5,10)Ceq \\al(5,5)Aeq \\al(3,3),Aeq \\al(2,2)) B.eq \f(Ceq \\al(4,14)Ceq \\al(5,10)Ceq \\al(5,5)Aeq \\al(2,2),Aeq \\al(3,3))
C.eq \f(Ceq \\al(4,14)Ceq \\al(5,10)Ceq \\al(5,5),Aeq \\al(2,2)) D.Ceq \\al(4,14)Ceq \\al(5,10)Ceq \\al(5,5)
解析：先将14种计算方法分为三组，方法有eq \f(Ceq \\al(4,14)Ceq \\al(5,10)Ceq \\al(5,5),Aeq \\al(2,2))种，再分配给3个人，方法有Aeq \\al(3,3)种，故共有eq \f(Ceq \\al(4,14)Ceq \\al(5,10)Ceq \\al(5,5),Aeq \\al(2,2))×Aeq \\al(3,3)种．
答案：A
12．(多选题)用0到9这10个数字，可组成没有重复数字的四位偶数的个数为( )
A．Aeq \\al(3,9)＋Aeq \\al(1,4)·Aeq \\al(1,8)·Aeq \\al(2,8)
B．Aeq \\al(3,9)＋Aeq \\al(1,4)·(Aeq \\al(3,9)－Aeq \\al(2,8))
C．Aeq \\al(1,5)·Aeq \\al(1,5)·Aeq \\al(2,8)＋Aeq \\al(1,4)·Aeq \\al(1,4)·Aeq \\al(2,8)
D．Aeq \\al(4,10)－Aeq \\al(3,9)－Aeq \\al(1,5)(Aeq \\al(3,9)－Aeq \\al(2,8))
解析：选项A，先排个位，若个位是0，则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排，有Aeq \\al(3,9)种；若个位不是0，则个位有4种选择，再排千位，有8种方法，再排百位和十位有Aeq \\al(2,8)种方法，所以没有重复数字的四位偶数共有Aeq \\al(3,9)＋Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(1,8)×Aeq \\al(2,8)＝2 296(个)，故A正确．
选项B，个位是0的不同四位数偶数共有Aeq \\al(3,9)种，个位不是0的不同四位偶数有Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(3,9)个，其中包含个位是偶数且千位为0的Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(2,8)种，故没有重复数字的四位偶数共有：Aeq \\al(3,9)＋Aeq \\al(1,4)(Aeq \\al(3,9)－Aeq \\al(2,8))＝2 296(个)，故B正确．
选项C，若千位为奇数，则有Aeq \\al(1,5)×Aeq \\al(1,5)×Aeq \\al(2,8)个，若千位是偶数，有Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(2,8)个，故共有Aeq \\al(1,5)×Aeq \\al(1,5)×Aeq \\al(2,8)＋Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(2,8)＝2 296(个)，故C正确．
选项D，没有重复数字的四位数有Aeq \\al(4,10)－Aeq \\al(3,9)个，没有重复数字的四位奇数有Aeq \\al(1,5)(Aeq \\al(3,9)－Aeq \\al(2,8))个，故没有重复数字的四位偶数有Aeq \\al(4,10)－Aeq \\al(3,9)－Aeq \\al(1,5)(Aeq \\al(3,9)－Aeq \\al(2,8))＝2 296(个)，D正确．故选ABCD.
答案：ABCD
13.(2020·重庆模拟)某地行政区域如图，请你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有________种不同的涂色方法．(用具体数字作答)
解析：对于a有4种涂色方法，对于b有3种涂色方法、对于c有2种涂色方法，对于e：若c与d颜色相同，则有2种涂色方法；若c与d颜色不相同，则只有1种涂色方法，故共有4×3×2×(2＋1)＝72(种)不同的涂色方法．
答案：72
14．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．
解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排好。将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有Aeq \\al(3,n－2)种．若有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,n－2)种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以Aeq \\al(3,n－2)＝Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,n－2)，解得n＝10.
答案：10
15．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1)不出现空盒时的放入方式共有________种；
(2)可出现空盒时的放入方式共有________种．
解析：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有Ceq \\al(3,6)＝20(种)不同的放入方式．
(2)每种放入方式相当于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有Ceq \\al(3,10)＝120(种)不同的放入方式．
答案：(1)20 (2)120
[拔高创新练]
16．已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为________．
解析：设6种产品分别为a，b，c，d，e，如图，根据题意，安全的分组方法有{ab，cf，de}，{ab，cd，ef}，{ac，be，df}，{ac，bf，de}，{ad，ef，bc}，{ad，eb，ef}，{ae，dc，bf}，{ae，df，bc}，共8种，每一种分组安排到3个仓库，有Aeq \\al(3,3)种方法，故总的方法有8×Aeq \\al(3,3)＝48(种)．
答案：48