2019届二轮复习（理）排列组合学案（全国通用）

【母题 一】【2018高考新课标1理数15】

【母题原题】从2位女生，4位男生中选3人参加 技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有             种．（用数字填写答案）

【答案】16

点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到至多至少问题时多采用间接法，总体方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.

【母题 二】【2017高考新课标1理数6】

【母题原题】展开式中的系数为

A． 15    B． 20

C． 30    D． 35

【答案】C

【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.

点睛:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.

【母题 三】【2016高考新课标1理数14】

【母题原题】的展开式中，x3的系数是         .（用数字填写答案）

【答案】

【解析】

考点:二项式定理

【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项,再确定r的值,从而确定指定项系数.

【命题意图】

1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.

2.排列与组合

(1)理解排列、组合的概念.

(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.

(3)能解决简单的实际问题.   

【命题规律】

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝                     种不同的方法．

3．两个原理的区别与联系

分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

2．排列与排列数

(1)排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为A.

(3)排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.

A＝n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1＝n！，规定0！＝1.

3．组合与组合数

(1)组合的定义：一般地，从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．

(3)组合数公式C＝＝＝.

(4)组合数的性质性：C＝C.C＝C＋C(m≤n，n∈N ，m∈N )．

【方法总结】

1、解排列组合综合应用问题的思路：

解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.

2．排列问题与组合问题的识别方法：

若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素顺序有关

若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素顺序无关

3、解排列组合题的“24字方针，12个技巧”：

(1)“二十四字”方针是解排列组合题的基本规律：即排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加、分步为乘．  ]

(2)“十二”个技巧是速解排列组合题的捷径．即：

①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；

⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；

⑨至少(多)问题间接法；⑩选排问题先取后排法；⑪局部与整体问题排除法；⑫复杂问题转化法．  ]

1．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有（  ）

A． 种    B． 种    C． 种    D． 种

【答案】B

【解析】

【分析】

对其余的四个小孩进行排列：

；

；

；

.

共有24中排列方法，其中满足题意的排列方法为：

，，，，

共有11种.

本题选择B选项.

【点睛】

(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．

(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．

2．【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试六】2018年3月22日，某校举办了“世界水日”主题演讲比赛，该校高三年级准备从包括甲乙丙在内的6名学生中选派4人参加演讲比赛，其中学生丙必须参加，仅当甲乙两同学同时参加时候，甲乙至少有一人与丙学生演讲顺序相邻，那么选派的4名学生不同的演讲顺序的种数为

A．     B．     C．     D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分甲乙均没有参加、甲乙中有1人参加和甲乙都参加三种情况讨论得解.

【详解】

对甲、乙两名同学是否参加分类.

第一类，甲、乙均未参加：=24.

第二类，甲、乙中有1人参加：.

第三类，甲、乙都参加：.

.

故答案为:A

【点睛】

(1)本题主要考查排列组合的综合应用问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.

3．【四川省成都市第七中学2018届高三下学期三诊模拟考试】已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有（  ）

A． 240种    B． 360种    C． 480种    D． 600种

【答案】C

【解析】分析：本题属于有限制条件的排列问题，解题时可按照领导丙的位置分为6类，求出每一类的排法后再根据分类加法计数原理求解总的排法．   

详解：用分类讨论的方法解决．如图中的6个位置，

点睛：解决排列组合问题的步骤：

①弄清完成一件事是做什么；②确定是先分类后分步，还是先分步后分类；③弄清分步、分类的标准是什么；④利用两个计数原理及排列数或组合数求解．

4．【湖南省岳阳市第一中学2018届高三第一次模拟考试】岳阳高铁站进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该进站口检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有（    ）种

A． 24    B． 36    C． 42    D． 60

【答案】D

【解析】分析：三名同学可以选择1个或2个或3个不同的检票通道口进站，三种情况分别计算进站方式即可得到总的进站方式.

详解：若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有种；

若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有种；

若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有种；

综上，这3个同学的不同进站方式有种，选D.

点睛：本题考查排列问题，属于中档题，解题注意合理分类讨论，而且还要注意从同一个进站口进入的学生的不同次序.

5．【浙江省宁波市2018届高三5月模拟考试】若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有

A． 种    B． 种    C． 种    D． 种

【答案】C

【解析】分析：直接按照乘法分步原理解答.

点睛：（1）本题主要考查排列组合计数原理的应用，意在考查学生的逻辑思维能力和排列组合的基本运算能力.解答排列组合时，要思路清晰，排组分清.（2）解答本题时，要注意审题，“有公共顶点的两个格子颜色不同”，如C和D有公共的顶点，所以颜色不能相同.   

6．【山东省潍坊市2018届高三第二次高考模拟考试 】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数 某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（   ）

A． 种    B． 种    C． 种    D． 种

【答案】A

【解析】分析：该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.

详解：当“数”排在第一节时有排法，当“数”排在第二节时有种排法，当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，所以满足条件的共有种排法，故选A.

点睛：在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节.

7．【湖北省2018届高三4月调研考试】党的十九大报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业生至少安排一名的概率为

A．     B．     C．     D．

【答案】C

点睛：本题考查了古典概型及概率的计算，排列组合的综合应用，对于排列组合问题： (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).

8．【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（   ） 学, ,  ,X,X,K]

A． 240种    B． 188种    C． 156种    D． 120种

【答案】D

【解析】当E,F排在前三位时， =24,当E,F排后三位时， =72，当E,F排3，4位时， =24，N=120种，选D.

9．【河北省保定市2018届高三第一次模拟考试】甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去社区，乙不去社区，则不同的安排方法种数为 （    ）

A． 8    B． 7    C． 6    D． 5

【答案】B

10．【云南省昆明市2018届高三教学质量检查】定义“有增有减”数列如下： ，满足，且，满足.已知“有增有减”数列共4项，若，且，则数列共有（  ）

A． 64个    B． 57个    C． 56个    D． 54个

【答案】D

【解析】当四个数中只有两个相同时，共有种，当四个数中有三个数相同时，共有种，所以总方法数有。

【点睛】

利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，按四个数中，只有两类数和有三类数进行分类，其中两类数中又有小类，三个相同和两两相同。

11．【云南省保山市2018届普通高中高三毕业生第二次市级统测】一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？（   ）

A． 5    B． 25    C． 55    D． 75

【答案】D

12．【凉山州2018届高中毕业班第二次诊断性检测】某校在教师交流活动中，决定派名语文教师， 名数学教师到甲乙两个学校交流，规定每个学校派去名老师且必须含有语文老师和数学老师，则不同的安排方案有（    ）种

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】设2名语文教师为A，B，

第一步，先分组，与A同组的2名数学老师公有种，另两名数学老师与B同组有种方法，

第二步，再安排到两个学校交流，有种方法，

由分步计数原理可得，共有=12种，

故答案为：12．   

13．【广东省六校2018届高三下学期第三次联考】从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有(    )

A． 42种    B． 36种    C． 72种    D． 46种

【答案】A

14．【四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动】中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1 9的方法的一种.

例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（     ）

A． 48    B． 60    C． 96    D． 120

【答案】C

【解析】设8根算筹的组合为，

不考虑先后顺序，则可能的组合为： ，

对于，组合出的可能的算筹为： 共4种，

可以组成的三位数的个数为： 种，

同理可以组成的三位数的个数为： 种，

对于，组合出的可能的算筹为：

共6种，

可以组成的三位数的个数为： 种，

15．【广州市2018届高三上学期第一次调研测试】某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有   

A． 36种    B． 24种    C． 22种    D． 20种

【答案】B

【解析】

第一类：男生分为，女生全排，男生全排得，第二类：男生分为，所以男生两堆全排后女生全排，不同的推荐方法共有 ，故选B.