人教版新课标A必修42.4 平面向量的数量积教案设计

数学必修4：教学设计9

一、内容及其解析

    本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.

二．教学目的

1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；

三、教学重点难点

重点：平面向量数量积的含义与物理意义，性质与运算律及其应用。

难点：平面向量数量积的概念

四:教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。 

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义

（三）合作探究，精讲点拨

探究一：数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：

①W（功）是    量，

②F（力）是    量，

③S（位移）是   量，

④α是             。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积

2、明晰数量积的定义

（1）    数量积的定义：

已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 ︱︱·︱b︱cos叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cos

（2）定义说明：

①记法“·”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。    

② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

  期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。

（4）学生讨论，并完成下表：

例1 ：已知｜｜＝３，｜｜＝６，当①∥，②⊥，③与的夹角是60°时，分别求·.

解：①当∥时，若与同向，则它们的夹角θ＝０°，

∴·＝｜｜·｜｜cos0°＝3×6×1＝18；

若与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴·＝｜｜｜｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；

②当⊥时，它们的夹角θ＝90°，

∴·＝０；

③当与的夹角是60°时，有

·＝｜｜｜｜cos60°＝3×6×＝9

评述：  两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当∥时，有0°或180°两种可能.

变式：对于两个非零向量、，求使|+t|最小时的t值，并求此时与+t的夹角。

探究二：研究数量积的意义

1.给出向量投影的概念：

如图，我们把││cos（││cos）

叫做向量在方向上（在方向上）的投影，

记做：OB1=︱││︱cos

2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？

期望学生回答：数量积·等于的长度︱︱与在的方向上的投影

︱︱cos 的乘积。

     3. 研究数量积的物理意义

   请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

探究三：探究数量积的运算性质

1、提出问题6：

比较︱·︱与︱︱×︱︱的大小，你有什么结论？

2、明晰：数量积的性质

3.数量积的运算律

  （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

预测：学生可能会提出以下猜想：

①    ·= ·   

②    （·）= (·) 

③（ + ）· =· + ·

 （2）、分析猜想：

猜想①的正确性是显而易见的。

关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？

期望学生回答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。

    （3）、明晰：数量积的运算律：

例2、（师生共同完成）已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？

解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6.

                         =36-3×4×6×0.5-6×4×4

                          = -72

评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式：（1）(+)2=2+2·+2       

（2）(+ )·(-)= 2—2

（四）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）

五：目标检测

1.若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，则y=（   ）

A.6            B.5            C.7            D.8

2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（   ）

A.-3           B.-1           C.1            D.3

3.已知││=8，││=10，│+│=16，与的夹角θ的余弦.

六：课后反思