数学必修41.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计

这是一份数学必修41.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算教学设计，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学方法，教学过程等内容，欢迎下载使用。

1．知识目标：
（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
2．能力目标：
（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。
3．情感目标：
（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。
三、教学方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
四、教学过程：
附录（表格和图）：







教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
复
学
引
入
复习上节课所学角的概念。
初中所学的角度制。
师：上节课我们把角的概念进行了扩充，角分为几类？（正角、负角、零角）
师：在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？
答：周角的1/360为1度的角。
师：这种用角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。（板书课题）

共同回顾角度制，从而为下面角度制与弧度制的比较埋下伏笔。
概念
形成
概
念
形
成
圆心角、弧长和半径之间的关系：
在同心圆中，同一圆心角所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，即
定值.
定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。
与角度制相比：
(1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；（2）1弧度是弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；（3）弧度制是十进制，而角度制是六十进制；（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
公式：，表示的是在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角是 rad。

角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，如图所示，但都对应同一个圆心角。
教师用多媒体演示，引导学生思考=定值，并与学生一起探究相等的原因：设，弧长为，半径为，则，可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与的大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
在给出弧度的定义之后，请同学们讨论弧度制与角度制的区别和联系，教师加以概括总结。
用公式求圆心角时，应强调其结果是圆心角的弧度数，并要求学生掌握此公式的变形形式：和。
1．边演示边说明，使学生通过图像来获取对新概念的直观印象。
2．通过和学生一起探究，使学生明白新概念的由来，从而加深理解。
3．通过对比，让学生对知识进行类比、迁移和联想，加深对概念的理解；通过分组讨论，加强学生间的交流和合作，发挥他们学习的主动性。
4．由于在物理上计算角速度时要经常用到此公式，因此要求学生掌握它及其两个变形。
弧度制与角度制的换算
弧度制与角度制的换算
用角度制和弧度制度量角，零角既是角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的。
周角的弧度数：
rad
换算公式：
rad=,
rad.
4．特殊角的角度数与弧度数的对应表
5．角的集合与实数集R之间建立起一种一一对应关系。
6．把角度值换算为弧度值的一个“算法”：
（1）给变量和圆周率的近似值赋值；
（2）如果角度值是以“度、分、秒”形式给出，先把化为以“度”为单位的10进制表示；
（3）计算，得出的结果赋给变量；
（4）计算，赋值给变量。
由上面的公式可以计算给定弧长和半径的圆心角的弧度，请同学们考虑一下，人给一个角度时怎么换算成弧度呢？反过来又该怎么做呢？
先引导学生计算周角的弧度数，在此基础上再来考虑换算问题，并和学生一起推导出两个换算公式。补充负角所对应的弧度数。
通过学生的实际计算和运用，让学生熟练掌握特殊角的角度和弧度的对应表。
同学分组讨论一下角的集合与实数集的对应关系。
答：一一对应。
问：在这两种单位制下都是一一对应吗？
由于每一个角都有唯一的一个实数（角度数或弧度数）与它对应，反过来，每一个实数也都有唯一的一个角和它对应，因此，无论用角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立起一种一一对应关系。
5．根据上面的公式，带领学生写出由角度换算为弧度的算法，让学生自己写出由弧度换算角度的算法。
1．让学生意识到相互转换得必要性和重要性，激发学生积极思考问题。
2．从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展。
3．观察分析和小组讨论相结合，进一步加深学生对新知识的理解和掌握。
4．写算法一方面训练学生的逻辑思维能力，另一方面也为后面学习算法打下基础。
典型例题
（1）把化成弧 度（精确到0.001）；
（2）把化成弧度（精确到）。
把化成度。
扇形AOB中，所对的圆心角是，半径是50米，求的长（精确到0.1米）。
利用弧度制推导扇形面积公式其中是扇形的弧长，是扇形的半径。
例1、例2学生板书，教师指导。
例3、例4教师讲解并板书，在解题步骤的规范性上为学生做好榜样。
关于例4，请学生思考：把扇形面积公式和三角形面积公式进行类比，你会产生什么联想？
通过例1和例2 让学生掌握弧度和角度换算的方法，例3 是弧长公式的应用，例4是推导扇形面积公式，从而对相关问题的解决提供工具。
归纳小结
1．1弧度的角和弧度制的定义；
2．弧度与角度的换算；
3．弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
让学生谈谈本节课的收获，教师归纳。
注重学生学习的自主性，发表本节课的体验和收获。
布置作业
层次一：教材练习A，2，4，5。
层次二：教材练习B，4；习题1-1A，2。
层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平的学生完成。
通过分层作业，使不同层次的学生进一步巩固本节课所学知识。
度
弧度