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山东省菏泽市巨野县2020届九年级中考一模数学试题 解析版
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这是一份山东省菏泽市巨野县2020届九年级中考一模数学试题 解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中的无理数是（ ）
A．B．πC．0D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2B．a2+a2＝a4
C．a2•a3＝a6D．（xy2）2＝x2y4
3．2月17日，国家卫生健康委表示，从全国支持武汉的力度来看，现在29个省自治区、直辖市）包括新疆生产建设兵团和军队系统，已派出32000余名医务人员去支援湖北武汉．将32000用科学记数法表示为 ）
A．0.32×105 B．3.2×105 C．3.2×104 D．32×105
4．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
5．如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）
A．主视图和左视图B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图
6．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
7．菏泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连续一周的体温情况如下表所示：
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3，36.2B．36.2，36.3C．36.2，36.2D．36.2，36.1
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②3a+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分。只要求把最后结果写在相应的横线上）
9．30×（）﹣2+|﹣2|＝ ．
10．与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝ ．
11．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为 ．
12．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 ．
13．将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆 个．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），若点A′（5，6），则A的坐标为 ．
三、解答题（本大题共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．
16．先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．
17.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
18.亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
19.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？（结果保留根号）
20.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集．
21.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
22.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连接OF并延长OF交⊙O于点E，连接BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC＝BC，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）⊙O的半径为10，sinA＝，求EG的长．
23.如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为CD、BC上两点，AF平分∠BAE，∠EAD＝∠FEC．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若∠B＝90°，AF与DC的延长线交于点H，求证：四边形ABHE为菱形．
24.如图，直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
山东省菏泽市巨野县2020届九年级中考一模数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列实数中的无理数是（ ）
A．B．πC．0D．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：，0，是有理数，
π是无理数，
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2B．a2+a2＝a4
C．a2•a3＝a6D．（xy2）2＝x2y4
【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方逐一计算可得．
【解答】解：A、﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，此选项错误；
B、a2+a2＝2a2，此选项错误；
C、a2•a3＝a5，此选项错误；
D、（xy2）2＝x2y4，此选项正确；
故选：D．
3．2月17日，国家卫生健康委表示，从全国支持武汉的力度来看，现在29个省自治区、直辖市）包括新疆生产建设兵团和军队系统，已派出32000余名医务人员去支援湖北武汉．将32000用科学记数法表示为 ）
A．0.32×105 B．3.2×105 C．3.2×104 D．32×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：32000用科学记数法表示为3.2×104．
故选：C．
4．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】首先根据题意建立坐标系，然后再确定根据轴对称图形的定义确定位置．
【解答】解：如图：小莹放的位置所表示的点的坐标是（﹣1，1）．
故选：B．
5．如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）
A．主视图和左视图B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变，
故选：A．
6．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】由b+c＝5可得出c＝5﹣b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝（b﹣6）2+24，由偶次方的非负性可得出（b﹣6）2+24＞0，即△＞0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵b+c＝5，
∴c＝5﹣b．
△＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24．
∵（b﹣6）2≥0，
∴（b﹣6）2+24＞0，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．菏泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连续一周的体温情况如下表所示：
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3，36.2B．36.2，36.3C．36.2，36.2D．36.2，36.1
【分析】根据中位数、众数的意义进行判断即可．
【解答】解：这周气温出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃，
将这一周的气温从小到大排列后，处在中间位置的是36.3℃，因此中位数是36.3℃，
故选：B．
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②3a+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
【分析】抛物线开口向上得到a＞0，利用对称轴方程得到b＝2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0）得到a+b+c＝0，然后把b＝2a代入可对②进行判断；利用x＝2，y＞0可对③进行判断；利用（﹣5，y1），（，y2）两点都直线x＝﹣1的距离和二次函数的性质对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线对称轴是x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
即当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
把b＝2a代入得3a+c＝0，所以②正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（，y2）到直线x＝﹣1的距离大，
∴y1＞y2，所以④正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．30×（）﹣2+|﹣2|＝ 6 ．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：30×（）﹣2+|﹣2|
＝1×4+2
＝4+2
＝6．
故答案为：6．
10．与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝ 2 ．
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴a+1＝3，解得：a＝2．
故答案为2．
11．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为 45° ．
【分析】先利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝100°，然后计算∠AOB﹣∠AOP即可．
【解答】解：∵所对的圆周角∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°，
∵∠AOP＝55°，
∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝100°﹣55°＝45°．
故答案为45°．
12．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 x≤1 ．
【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；
【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；
故答案为x≤1；
13．将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆 2550 个．
【分析】先找出规律，确定出第n行圆的个数为2n个，即：第50行为100个，进而求2+4+6+8+…+100即可得出结论．
【解答】解：∵第一行有2个圆，
第二行有4个圆，
第三行有6个圆，
…
∴第n行有2n个圆，
∴前50行共有圆：2+4+6+8+…+2×50＝2+4+6+8+…+100＝2550个，
故答案为：2550
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），若点A′（5，6），则A的坐标为 （2.5，3） ．
【分析】利用点B（3，1），B′（6，2）即可得出位似比进而得出A的坐标．
【解答】解：∵点B（3，1），B′（6，2），点A′（5，6），
∴A的坐标为：（2.5，3）．
故答案为：（2.5，3）．
三．解答题
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．
【分析】先用加减法求得x﹣y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．
【解答】解：
①﹣②得：x﹣y＝5﹣k，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0．
∴5﹣k＞0．
解得：k＜5．
16．先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解得到x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
，
由①解得：x＞2；由②解得：x＜，
∴不等式的解集为2＜x＜，
当x＝3时，原式＝．
17.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
18.亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【考点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+2及志愿者人数＝22×调配22座客车的数量﹣2，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+22×调配22座客车的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可求出结论．
【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，
依题意，得：，
解得：．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，
依题意，得：36m+22n＝218，
∴n＝．
又∵m，n均为正整数，
∴．
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
19.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，利用方向角的定义得到∠PAQ＝45°，AB＝60×1.5＝90，∠PBN＝60°，∠MBN＝30°，在Rt△PBQ中，设BQ＝x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到PQ＝x，再利用∠PAQ＝45°得到x＝90+x，解得x＝45（+1），则PQ＝45（3+），然后在Rt△MBN中计算出BM＝2MN＝90（3+），最后利用速度公式计算出从B处到避风港M的时间即可．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，∠PAQ＝45°，AB＝60×1.5＝90，∠PBN＝60°，∠MBN＝30°，
在Rt△PBQ中，设BQ＝x，
∵∠PBQ＝60°，
∴PQ＝x，
在Rt△PAQ中，∵∠PAQ＝45°，
∴PQ＝AQ，即x＝90+x，解得x＝45（+1），
∴PQ＝45（3+），
在Rt△MBN中，∵∠MBN＝30°，MN＝PQ＝45（3+），
∴BM＝2MN＝90（3+），
∴从B处到避风港M的时间＝＝（小时）．
答：继续航行小时即可到达．
20.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x＝6代入求出C的坐标，把C的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；
（2）根据图象即可得出答案．
【解答】解：（1）∵S△AOB＝3，OB＝3，
∴OA＝2，
∴B（3，0），A（0，﹣2），
代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝﹣2，
∴一次函数y＝x﹣2，
∵OD＝6，
∴D（6，0），CD⊥x轴，
当x＝6时，y＝×6﹣2＝2
∴C（6，2），
∴n＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式是y＝；
（2）当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集是0＜x＜6．
21.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【考点】扇形统计图；条形统计图；众数；列表法与树状图法．
【专题】常规题型；统计与概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，
故答案为：200、81°；
（2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
22.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连接OF并延长OF交⊙O于点E，连接BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC＝BC，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）⊙O的半径为10，sinA＝，求EG的长．
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，求出∠ABE+∠GBC＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）解直角三角形求出AF、OF，求出EF、FG，根据勾股定理可得EG＝2．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，F是弦AD的中点，
∴OF⊥AD，
∴∠EFG＝90°，
∴∠E+∠FGE＝90°，
∵BC＝GC，
∴∠BGC＝∠GBC，
∵∠FGE＝∠BGC，
∴∠GBC＝∠FGE，
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝∠E，
∴∠ABE+∠GBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵sinA＝，OA＝10，
∴AF＝8，OF＝6，BC＝GC＝15，AC＝25，
∴AG＝10，EF＝4，
∴FG＝2，
由勾股定理，得EG＝2．
23.如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为CD、BC上两点，AF平分∠BAE，∠EAD＝∠FEC．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若∠B＝90°，AF与DC的延长线交于点H，求证：四边形ABHE为菱形．
【考点】平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由三角形的外角性质和已知条件得出∠AEF＝∠D，由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，得出∠B＝∠AEF，证明△ABF≌△AEF（AAS），即可得出结论；
（2）证明∠EHA＝∠EAF，得出AE＝HE，因此AB＝EH，得出四边形ABHE是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAD+∠D，∠EAD＝∠FEC，
∴∠AEF＝∠D，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝∠AEF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（AAS），
∴AB＝AE；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF＝∠EHA，
∵∠BAF＝∠EAF，
∴∠EHA＝∠EAF，
∴AE＝HE，
∵AB＝AE，
∴AB＝EH，
∴四边形ABHE是平行四边形，
又∵AB＝AE，
∴四边形ABHE为菱形．
24.如图，直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB＝60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO＝30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH＝∠BCO＝60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：
（1）∵直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB＝3，OC＝，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠BCO＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝30°，
∴＝tan30°＝，即＝，解得AO＝1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°，
∴DH＝DM，MH＝DM，
∴△DMH的周长＝DM+DH+MH＝DM+DM+DM＝DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM＝﹣t2+t+﹣（﹣t+）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，DM有最大值，最大值为，
此时DM＝×＝，
即△DMH周长的最大值为．
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.2
36.2
36.5
36.3
36.2
36.4
36.3
日期
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体温（℃）
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36.3
1．下列实数中的无理数是（ ）
A．B．πC．0D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2B．a2+a2＝a4
C．a2•a3＝a6D．（xy2）2＝x2y4
3．2月17日，国家卫生健康委表示，从全国支持武汉的力度来看，现在29个省自治区、直辖市）包括新疆生产建设兵团和军队系统，已派出32000余名医务人员去支援湖北武汉．将32000用科学记数法表示为 ）
A．0.32×105 B．3.2×105 C．3.2×104 D．32×105
4．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
5．如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）
A．主视图和左视图B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图
6．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
7．菏泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连续一周的体温情况如下表所示：
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3，36.2B．36.2，36.3C．36.2，36.2D．36.2，36.1
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②3a+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分。只要求把最后结果写在相应的横线上）
9．30×（）﹣2+|﹣2|＝ ．
10．与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝ ．
11．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为 ．
12．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 ．
13．将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆 个．
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），若点A′（5，6），则A的坐标为 ．
三、解答题（本大题共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．
16．先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．
17.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
18.亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
19.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？（结果保留根号）
20.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集．
21.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
22.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连接OF并延长OF交⊙O于点E，连接BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC＝BC，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）⊙O的半径为10，sinA＝，求EG的长．
23.如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为CD、BC上两点，AF平分∠BAE，∠EAD＝∠FEC．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若∠B＝90°，AF与DC的延长线交于点H，求证：四边形ABHE为菱形．
24.如图，直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
山东省菏泽市巨野县2020届九年级中考一模数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列实数中的无理数是（ ）
A．B．πC．0D．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：，0，是有理数，
π是无理数，
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．﹣（x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2B．a2+a2＝a4
C．a2•a3＝a6D．（xy2）2＝x2y4
【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方逐一计算可得．
【解答】解：A、﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，此选项错误；
B、a2+a2＝2a2，此选项错误；
C、a2•a3＝a5，此选项错误；
D、（xy2）2＝x2y4，此选项正确；
故选：D．
3．2月17日，国家卫生健康委表示，从全国支持武汉的力度来看，现在29个省自治区、直辖市）包括新疆生产建设兵团和军队系统，已派出32000余名医务人员去支援湖北武汉．将32000用科学记数法表示为 ）
A．0.32×105 B．3.2×105 C．3.2×104 D．32×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：32000用科学记数法表示为3.2×104．
故选：C．
4．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）
【分析】首先根据题意建立坐标系，然后再确定根据轴对称图形的定义确定位置．
【解答】解：如图：小莹放的位置所表示的点的坐标是（﹣1，1）．
故选：B．
5．如图所示的几何体是由9个大小相同的小正方体组成的，将小正方体①移走后，所得几何体的三视图没有发生变化的是（ ）
A．主视图和左视图B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图D．主视图、左视图、俯视图
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：将正方体①移走后，主视图不变，俯视图变化，左视图不变，
故选：A．
6．当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】由b+c＝5可得出c＝5﹣b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△＝（b﹣6）2+24，由偶次方的非负性可得出（b﹣6）2+24＞0，即△＞0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵b+c＝5，
∴c＝5﹣b．
△＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24．
∵（b﹣6）2≥0，
∴（b﹣6）2+24＞0，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．菏泽市某中学在预防“新冠肺炎”期间，要求学生每日测量体温，初三一班一名同学连续一周的体温情况如下表所示：
则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
A．36.3，36.2B．36.2，36.3C．36.2，36.2D．36.2，36.1
【分析】根据中位数、众数的意义进行判断即可．
【解答】解：这周气温出现次数最多的是36.2℃，因此众数是36.2℃，
将这一周的气温从小到大排列后，处在中间位置的是36.3℃，因此中位数是36.3℃，
故选：B．
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②3a+c＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．②③④
【分析】抛物线开口向上得到a＞0，利用对称轴方程得到b＝2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0）得到a+b+c＝0，然后把b＝2a代入可对②进行判断；利用x＝2，y＞0可对③进行判断；利用（﹣5，y1），（，y2）两点都直线x＝﹣1的距离和二次函数的性质对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线对称轴是x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
即当x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
把b＝2a代入得3a+c＝0，所以②正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以③错误；
∵点（﹣5，y1）到直线x＝﹣1的距离比点（，y2）到直线x＝﹣1的距离大，
∴y1＞y2，所以④正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．30×（）﹣2+|﹣2|＝ 6 ．
【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、绝对值3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：30×（）﹣2+|﹣2|
＝1×4+2
＝4+2
＝6．
故答案为：6．
10．与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝ 2 ．
【分析】先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【解答】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且，
∴a+1＝3，解得：a＝2．
故答案为2．
11．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为 45° ．
【分析】先利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝100°，然后计算∠AOB﹣∠AOP即可．
【解答】解：∵所对的圆周角∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°，
∵∠AOP＝55°，
∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝100°﹣55°＝45°．
故答案为45°．
12．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为 x≤1 ．
【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；
【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，
∴m＝1，
∴P（1，3），
结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；
故答案为x≤1；
13．将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆 2550 个．
【分析】先找出规律，确定出第n行圆的个数为2n个，即：第50行为100个，进而求2+4+6+8+…+100即可得出结论．
【解答】解：∵第一行有2个圆，
第二行有4个圆，
第三行有6个圆，
…
∴第n行有2n个圆，
∴前50行共有圆：2+4+6+8+…+2×50＝2+4+6+8+…+100＝2550个，
故答案为：2550
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B（3，1），B′（6，2），若点A′（5，6），则A的坐标为 （2.5，3） ．
【分析】利用点B（3，1），B′（6，2）即可得出位似比进而得出A的坐标．
【解答】解：∵点B（3，1），B′（6，2），点A′（5，6），
∴A的坐标为：（2.5，3）．
故答案为：（2.5，3）．
三．解答题
15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．
【分析】先用加减法求得x﹣y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．
【解答】解：
①﹣②得：x﹣y＝5﹣k，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0．
∴5﹣k＞0．
解得：k＜5．
16．先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解得到x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
，
由①解得：x＞2；由②解得：x＜，
∴不等式的解集为2＜x＜，
当x＝3时，原式＝．
17.已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
18.亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【考点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】方程思想；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+2及志愿者人数＝22×调配22座客车的数量﹣2，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，根据志愿者人数＝36×调配36座客车的数量+22×调配22座客车的数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可求出结论．
【解答】解：（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，
依题意，得：，
解得：．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，
依题意，得：36m+22n＝218，
∴n＝．
又∵m，n均为正整数，
∴．
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
19.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行多少小时即可到达？（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，利用方向角的定义得到∠PAQ＝45°，AB＝60×1.5＝90，∠PBN＝60°，∠MBN＝30°，在Rt△PBQ中，设BQ＝x，利用含30度的直角三角形三边的关系得到PQ＝x，再利用∠PAQ＝45°得到x＝90+x，解得x＝45（+1），则PQ＝45（3+），然后在Rt△MBN中计算出BM＝2MN＝90（3+），最后利用速度公式计算出从B处到避风港M的时间即可．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，∠PAQ＝45°，AB＝60×1.5＝90，∠PBN＝60°，∠MBN＝30°，
在Rt△PBQ中，设BQ＝x，
∵∠PBQ＝60°，
∴PQ＝x，
在Rt△PAQ中，∵∠PAQ＝45°，
∴PQ＝AQ，即x＝90+x，解得x＝45（+1），
∴PQ＝45（3+），
在Rt△MBN中，∵∠MBN＝30°，MN＝PQ＝45（3+），
∴BM＝2MN＝90（3+），
∴从B处到避风港M的时间＝＝（小时）．
答：继续航行小时即可到达．
20.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x＝6代入求出C的坐标，把C的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；
（2）根据图象即可得出答案．
【解答】解：（1）∵S△AOB＝3，OB＝3，
∴OA＝2，
∴B（3，0），A（0，﹣2），
代入y＝kx+b得：，
解得：k＝，b＝﹣2，
∴一次函数y＝x﹣2，
∵OD＝6，
∴D（6，0），CD⊥x轴，
当x＝6时，y＝×6﹣2＝2
∴C（6，2），
∴n＝6×2＝12，
∴反比例函数的解析式是y＝；
（2）当x＞0时，kx+b﹣＜0的解集是0＜x＜6．
21.随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【考点】扇形统计图；条形统计图；众数；列表法与树状图法．
【专题】常规题型；统计与概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，
故答案为：200、81°；
（2）微信人数为200×30%＝60人，银行卡人数为200×15%＝30人，
补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为：微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
22.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，F是弦AD的中点，连接OF并延长OF交⊙O于点E，连接BE交AD于点G，延长AD至点C，使得GC＝BC，连接BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）⊙O的半径为10，sinA＝，求EG的长．
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，求出∠ABE+∠GBC＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）解直角三角形求出AF、OF，求出EF、FG，根据勾股定理可得EG＝2．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，F是弦AD的中点，
∴OF⊥AD，
∴∠EFG＝90°，
∴∠E+∠FGE＝90°，
∵BC＝GC，
∴∠BGC＝∠GBC，
∵∠FGE＝∠BGC，
∴∠GBC＝∠FGE，
∵OE＝OB，
∴∠ABE＝∠E，
∴∠ABE+∠GBC＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵sinA＝，OA＝10，
∴AF＝8，OF＝6，BC＝GC＝15，AC＝25，
∴AG＝10，EF＝4，
∴FG＝2，
由勾股定理，得EG＝2．
23.如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为CD、BC上两点，AF平分∠BAE，∠EAD＝∠FEC．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若∠B＝90°，AF与DC的延长线交于点H，求证：四边形ABHE为菱形．
【考点】平行四边形的性质；菱形的判定．
【专题】证明题；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由三角形的外角性质和已知条件得出∠AEF＝∠D，由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，得出∠B＝∠AEF，证明△ABF≌△AEF（AAS），即可得出结论；
（2）证明∠EHA＝∠EAF，得出AE＝HE，因此AB＝EH，得出四边形ABHE是平行四边形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠EAD+∠D，∠EAD＝∠FEC，
∴∠AEF＝∠D，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∴∠B＝∠AEF，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAF＝∠EAF，
在△ABF和△AEF中，
，
∴△ABF≌△AEF（AAS），
∴AB＝AE；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAF＝∠EHA，
∵∠BAF＝∠EAF，
∴∠EHA＝∠EAF，
∴AE＝HE，
∵AB＝AE，
∴AB＝EH，
∴四边形ABHE是平行四边形，
又∵AB＝AE，
∴四边形ABHE为菱形．
24.如图，直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2+bx+经过A，B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB＝60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO＝30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；
（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（3）由平行线的性质可知∠MDH＝∠BCO＝60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【解答】解：
（1）∵直线y＝﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，），
∴OB＝3，OC＝，
∴tan∠BCO＝＝，
∴∠BCO＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACO＝30°，
∴＝tan30°＝，即＝，解得AO＝1，
∴A（﹣1，0）；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+经过A，B两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+；
（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，
∴∠MDH＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°，
∴DH＝DM，MH＝DM，
∴△DMH的周长＝DM+DH+MH＝DM+DM+DM＝DM，
∴当DM有最大值时，其周长有最大值，
∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，
∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），
∴DM＝﹣t2+t+﹣（﹣t+）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，DM有最大值，最大值为，
此时DM＝×＝，
即△DMH周长的最大值为．
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
体温（℃）
36.2
36.2
36.5
36.3
36.2
36.4
36.3
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