精品解析：2020年山东省菏泽市东明县中考数学一模试题（解析版+原卷版）

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2020年山东省菏泽市东明县中考数学一模试卷
一．选择题（共8小题）
1.的倒数的绝对值是（ ）
A. B. － C. 2 D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据倒数和绝对值的定义，可知的倒数是2，2的绝对值还是2．
【详解】解：的倒数是2，2的绝对值还是2．
故选C．
【点睛】本题考查了倒数和绝对值的定义，此题关键是理解倒数和绝对值的定义．
2.PM2.5是指大气中直径小于或等于毫米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，把用小数形式表示正确的是（　　）
A. 0.000025 B. 0.00025 C. 0.0025 D. 0.025
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．而，所以还原时把小数点往左移动位即可得到答案．
【详解】解：用小数形式表示正确的是0.0025;
故选：C.
【点睛】本题考查的知识点是把用科学记数法表示绝对值较小的数还原，关键是在理解科学记数法的基础上掌握小数点的移动方向与数位．
3.下列运算正确的是（　　）
A. （x3）2＝x5 B. ﹣＝ C. （x+1）2＝x2+1 D. x3•x2＝x5
【答案】D
【解析】
【分析】
根据幂的乘方判定A，
根据合并同类二次根式判断B，
根据完全平方公式判断C，
根据同底数幂的乘法判断D．
【详解】解：A、原式＝x6，不符合题意;
B、原式不能合并，不符合题意;
C、原式＝x2+2x+1，不符合题意;
D、原式＝x5，符合题意;
故选：D．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，合并同类二次根式，掌握以上知识是解题的关键．
4.已知是方程组的解，则的值是（ ）
A. 10 B. -10 C. 14 D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】
把x＝a，y＝b，代入方程组，两式相加即可得出答案．
【详解】把x＝a，y＝b代入方程组，
得：
两式相加得：5a−b=7+3=10.
故选A
【点睛】此题考查二元一次方程组的解，解答本题的关键在于x＝a，y＝b，代入方程组，化简可得答案
5.一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根，则m的值为（　　）
A. 0 B. 0或﹣2 C. ﹣2 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值，经检验即可得到满足题意m的值．
【详解】∵一元二次方程mx2+mx﹣＝0有两个相等实数根，
∴△＝m2﹣4m×（﹣）＝m2+2m＝0，
解得：m＝0或m＝﹣2，
经检验m＝0不合题意，
则m＝﹣2．
故选C．
【点睛】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
6.如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△A’O’B’，则点B’的坐标是（ ）．

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先通过一次函数解析式求出A，B两点坐标，再求出，从而确定的坐标.
【详解】∵一次函数解析式为，
令x=0，则y=2，故B点坐标为（0，2），
令y=0，则x=，故A点坐标为（，0），
在Rt△AOB中，
，
∴∠OAB=30°，
∵把△AOB绕点A顺时针旋转60°，
∴∠，
∴，
∴的坐标为（，4），
故选B.
【点睛】本题是对一次函数知识的考查，熟练掌握一次函数解析式及三角函数知识是解决本题的关键.
7.如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（ ）

A. B. C. 或3 D. 或4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解.
【详解】∵∠ACD=∠ABC，
∴∠A=∠DCE，
∵△DCE和△ABC相似，
∴或
∵AC=6，AB=4，CD=2，
∴或
∴CE长为或3
故选：C.
【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论.
8.如图，矩形的两条对角线相交于点，，，一动点以的速度沿折线运动，设运动时间为，，则与的函数图象大致是(　　)

A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】∵，∴．
又∵，
∴、是等边三角形，
∴等边三角形的高，
①点在上时，，为一次函数图象；
②点在上时，，
点到的距离，，为一次函数图象．
∵，∴时，有最大值，
纵观各选项，只有C选项图象符合．
故选：C
二．填空题（共6小题）
9.已知a﹣b＝5，ab＝1，则a2b﹣ab2的值为_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
先把分解因式，再整体代入求值即可得到答案．
【详解】解：∵a﹣b＝5，ab＝1,
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝5×1＝5;
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是因式分解，代数式的求值，掌握因式分解及整体代入求值是解题的关键．
10.若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先解不等式组，根据有解确定的大小关系即可得到答案．
【详解】解： ,
解①得：x＜2m，
解②得：x＞2﹣m，
根据题意得：,
解得：m＞．
故答案是：m＞
【点睛】本题考查的是不等式组有解时，字母的取值范围，掌握求解不等式组的解集的方法是解题的关键．
11.一组数据3，4，x，6，7的平均数为5，则这组数据的方差______．
【答案】2
【解析】
【分析】
先由平均数的公式求出x的值，再根据方差的公式计算即可．
【详解】解：数据3，4，x，6，7的平均数为5，
，
解得：，
这组数据为3，4，5，6，7，
这组数据的方差为：．
故答案为2．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
12.如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，则AB=
_________ cm．

【答案】
【解析】
【详解】连接AC、BC，则∠CAH=30°， AC=，根据勾股定理AH=，故AB=

13.如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A、C，则劣弧的长度为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
连接OA、OC，如图，根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
【详解】
连接OA、OC，如图
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴
∵AE、CD与O相切，
∴，
∴，
∴的长为
故答案
14.如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为_____．

【答案】（0，256）
【解析】
【分析】
利用锐角三角函数分别计算得到的坐标，利用规律直接得到答案．
【详解】解：∵l：y＝x
∴l与x轴的夹角为30°
∵AB∥x轴
∴∠ABO＝30°
∵OA＝1
∴AB＝
∵A1B⊥l
∴∠ABA1＝60°
∴AA1＝3
∴A1（0，4）
同理可得A2（0，16）
…
∴A4纵坐标为44＝256
∴A4（0，256）
故答案为：（0，256）．
【点睛】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到…的点的坐标是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
15.计算：﹣14+（2016﹣π）0﹣（﹣）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．
【答案】1
【解析】
【分析】
原式先利用零次幂，负整数指数幂、绝对值及特殊角的三角函数值计算，再合并即可.
【详解】解：原式=﹣1+1﹣（﹣2）+﹣1﹣2×
=﹣1+1+2+﹣1﹣
=1．
16.先化简，再求值：，其中
【答案】2
【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x=2y代入即可解答本题．
【详解】原式=
=
=
=.
当时，原式==2
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．
17.已知：如图，A，B，C，D在同一直线上，且AB＝CD，AE＝DF，AE∥DF．求证：四边形EBFC是平行四边形．

【答案】证明过程见详解.
【解析】
【分析】
连接AF，ED，EF，EF交AD于O,证明四边形AEDF为平行四边形，利用平行四边形的性质可得答案．
【详解】证明：连接AF，ED，EF，EF交AD于O,

∵AE＝DF，AE∥DF,
∴四边形AEDF为平行四边形;
∴EO＝FO，AO＝DO;
又∵AB＝CD,
∴AO﹣AB＝DO﹣CD;
∴BO＝CO;
又∵EO＝FO,
∴四边形EBFC是平行四边形.
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
18.目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同．若每消耗1千卡能量小明行走的步数比小红多10步，求小红每消耗1千卡能量需要行走多少步？
【答案】小红每消耗1千卡能量需要行走30步．
【解析】
【分析】
分析：设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步，根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数结合小明步行12 000步与小红步行9 000步消耗的能量相同，即可得出关于x的分式方程，解之后经检验即可得出结论．
【详解】设小红每消耗1千卡能量需要行走x步，则小明每消耗1千卡能量需要行走（x+10）步，
根据题意，得
，
解得x=30．
经检验：x=30是原方程的解．
答：小红每消耗1千卡能量需要行走30步．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据数量关系消耗能量千卡数=行走步数÷每消耗1千卡能量需要行走步数列出关于x的分式方程是解题的关键．
19.在某海域，一艘海监船在P处检测到南偏西45°方向的B处有一艘不明船只，正沿正西方向航行，海监船立即沿南偏西60°方向以40海里/小时的速度去截获不明船只，经过1.5小时，刚好在A处截获不明船只，求不明船只的航行速度．（≈1.41，≈1.73，结果保留一位小数）．

【答案】不明船只的航行速度是14.6海里/小时．
【解析】
【分析】
作PQ垂直于AB的延长线于点Q，在△APQ和△BQP中，利用三角函数的知识分别求出AQ、BQ长，继而可求得AB长，再根据时间即可求出速度.
【详解】作PQ垂直于AB的延长线于点Q，

由题意得：∠BPQ＝45°，∠APQ＝60°，AP＝1.5×40＝60海里，
∴在△APQ中，AQ＝AP•sin60°＝30海里，PQ＝AP•cos60°＝30海里，
∵在△BQP中，∠BPQ＝45°，
∴PQ＝BQ＝30海里，
∴AB＝AQ﹣BQ＝30﹣30≈21.9海里，
∴＝14.6海里/小时，
∴不明船只的航行速度是14.6海里/小时．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.
20.已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于第一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=．
（1）求反比例函数和直线的函数表达式；
（2）求△OPQ面积．

【答案】（1）y=-2x+9（2）
【解析】
【分析】
（1）过P作PC⊥y轴于C，由P（，n），得到OC=n，PC=，根据三角函数的定义得到P（，8），于是得到反比例函数的解析式为y=，Q（4，1），解方程组即可得到直线的函数表达式为y=﹣2x+9；
（2）过Q作OD⊥y轴于D，于得到S△POQ=S四边形PCDQ=．
【详解】（1）过P作PC⊥y轴于C，∵P（，n），∴OC=n，PC=，
∵tan∠BOP=，∴n=8，∴P（，8），设反比例函数的解析式为y=，
∴a=4，∴反比例函数的解析式为y=，∴Q（4，1），
把P（，8），Q（4，1）代入y=kx+b中得，∴，
∴直线的函数表达式为y=﹣2x+9；
（2）过Q作OD⊥y轴于D，则S△POQ=S四边形PCDQ=（+4）×（8﹣1）=．

【点睛】反比例函数与一次函数的交点问题．
21.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O半径为
【解析】
【分析】
（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；
（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．
【详解】解：（1）连接OA，

∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵DA平分∠BDE，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．∴OA∥DE．
∴∠OAE=∠4，
∵AE⊥CD，∴∠4=90°．
∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．
又∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD=90°．
∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．
又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．
∴，
∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．
在Rt△BAD中，根据勾股定理，
得BD=．
∴⊙O半径为．
22.（2017内蒙古赤峰市）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：
（1）求此次抽查的学生人数；
（2）将图2补充完整，并求图1中的x；
（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）

【答案】（1）40；（2）答案见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据百分比=所占人数÷总人数计算即可；
（2）求出B、C的人数画出条形图即可；
（3）利用树状图，即可解决问题；
【详解】（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．
（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，
条形图如图所示，

（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为．

【点睛】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图.
23.猜想与证明：
如图1，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为　 　．
（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．

【答案】猜想：DM=ME，证明见解析；（2）成立，证明见解析.
【解析】


试题分析：延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（1）、延长EM交AD于点H，根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF，得到△FME和△AMH全等，得到HM=EM，根据Rt△HDE得到HM=DE，则可以得到答案；（2）、连接AE，根据正方形的性质得出∠FCE=45°，∠FCA=45°，根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF，根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME，从而说明DM=ME.
试题解析：如图1，延长EM交AD于点H，∵四边形ABCD和CEFG是矩形，∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=DE，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
（1）、如图1，延长EM交AD于点H，
∵四边形ABCD和CEFG是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME，
（2）、如图2，连接AE，
∵四边形ABCD和ECGF是正方形，
∴∠FCE=45°，∠FCA=45°，
∴AE和EC在同一条直线上，
在RT△ADF中，AM=MF，
∴DM=AM=MF，
在RT△AEF中，AM=MF，
∴AM=MF=ME，
∴DM=ME．

考点：（1）、三角形全等的性质；（2）、矩形的性质.
24.如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2
(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）
(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．
【解析】
试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；
（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；
（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．
试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；
（2）∵y=﹣x2+x+2，

∴y=﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴是x=．
∴OD=．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=．
∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
∴CP1=CP2=CP3=CD．
作CH⊥x轴于H，
∴HP1=HD=2，
∴DP1=4．
∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；
（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．
如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），
∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．
∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，
=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），
=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．
=﹣（a﹣2）2+
∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，
∴E（2，1）．

考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值