新教材(辅导班)高一数学寒假讲义13《6.4平面向量的应用》课时(原卷版)学案

6.4.1　平面几何中的向量方法

知识点一　　　向量在几何中的应用

(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．

(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

③把运算结果“翻译”成几何关系．

知识点二　　　向量在平面几何中常见的应用

(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．

(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．

(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．

(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|＝＝(a＝(x，y))或AB＝||＝(A(x1，y1)，B(x2，y2))．

向量在几何中的应用

(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．

(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)

(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)

(3)向量，的夹角就是直线AB，CD的夹角．(　　)

2．做一做

(1)在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)

A．直角梯形   B．菱形

C．矩形   D．正方形

(2)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

题型一  向量在平面几何证明问题中的应用

例1　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC．

　用向量证明平面几何问题的两种基本思路

(1)向量的线性运算法的四个步骤

①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．

(2)向量的坐标运算法的四个步骤

①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．

已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．

题型二   向量在平面几何计算问题中的应用

例2　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.

(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；

(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．

用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝.

如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

1．已知|a|＝2，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(　　)

A．10        B．       C．2         D．22

2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)

A．梯形        B．菱形       C．矩形          D．正方形

3．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)(x≠0)，若⊥，则满足条件的x，y的关系式是________．

4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，

且满足＝，则·的取值范围是________．

5．如图，在▱OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA．