新教材(辅导班)高一数学寒假讲义13《6.4平面向量的应用》课时(含解析) 学案

6.4.1　平面几何中的向量方法

知识点一　　　向量在几何中的应用

(1)平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．

(2)用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

③把运算结果“翻译”成几何关系．

知识点二　　　向量在平面几何中常见的应用

(1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用平行向量基本定理：a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．

(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．

(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．

(4)求线段的长度或说明线段相等，常用公式：|a|＝＝(a＝(x，y))或AB＝||＝(A(x1，y1)，B(x2，y2))．

向量在几何中的应用

(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一个基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．

(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向量→向量的运算→向量和数到形”．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)

(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)

(3)向量，的夹角就是直线AB，CD的夹角．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)

A．直角梯形   B．菱形

C．矩形   D．正方形

(2)设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．

答案　(1)C　(2)1∶2

题型一  向量在平面几何证明问题中的应用

例1　在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC．

[证明]　证法一：∵∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，

故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2.

∴＝＋＝e1＋e2，

＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2.

而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝|e1|2－|e2|2＝0，

∴⊥，即AC⊥BC．

证法二：如图，建立直角坐标系，

设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．

∴＝(－1,1)，＝(1,1)．

∴·＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.

∴AC⊥BC．

　用向量证明平面几何问题的两种基本思路

(1)向量的线性运算法的四个步骤

①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；④把几何问题向量化．

(2)向量的坐标运算法的四个步骤

①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化．

已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．

证明　设＝a，＝b，

则＝－＝－a＝(a＋b)－a＝b－a，

＝－＝b－＝b－a，

所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．

题型二   向量在平面几何计算问题中的应用

例2　已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.

(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；

(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示)．

 [解]　(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

A(0，m)，B(n,0)．

∵D为AB的中点，

∴D.

∴||＝ ，||＝，

∴||＝||，即CD＝AB．

(2)∵E为CD的中点，∴E，

设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．

∵A，E，F三点共线，∴＝λ，即(x，－m)＝λ.

则故λ＝，x＝，∴F，

∴||＝ ，即AF＝ .

用向量法求平面几何中的长度问题，即向量的模的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，利用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解，即若a＝(x，y)，则|a|＝.

如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

解　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，

而||＝|a－b|＝＝＝＝2，

∴5－2a·b＝4，∴a·b＝.

又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，

∴||＝，即AC＝.

1．已知|a|＝2，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为(　　)

A．10        B．       C．2         D．22

答案　C

解析　以向量a，b为邻边的平行四边形的对角线为a＋b与a－b.

|a＋b|＝ ＝ ＝

＝＝2，|a－b|＝＝

＝ ＝2.

2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为(　　)

A．梯形        B．菱形       C．矩形          D．正方形

答案　A

解析　由题意得＝(3,3)，＝(2,2)，∴∥，||≠||.故选A．

3．平面上有三个点A(－2，y)，B，C(x，y)(x≠0)，若⊥，则满足条件的x，y的关系式是________．

答案　y2＝8x(x≠0)

解析　∵＝＝，＝＝，∴·＝2x－＝0，

∴y2＝8x(x≠0)．

4．在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，

且满足＝，则·的取值范围是________．

答案　[1,4]

解析　解法一：设＝＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝λ，＝(1－λ)＝

(1－λ)，则·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·[＋(1－λ)]

＝·＋(1－λ)2＋λ2＋λ(1－λ)··.

∵·＝0，∴·＝4－3λ.

∵0≤λ≤1，∴1≤·≤4，即·的取值范围是[1,4]．

解法二：如图所示，以点A为坐标原点，以边AB所在直线为x轴，边AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．因为AB＝2，AD＝1，所以A(0,0)，B(2，0)，D(0,1)，C(2，1)．

设＝＝t∈[0,1]，则||＝t，||＝2t.则M(2，t)，N(2－2t,1)，

故·＝4－4t＋t＝4－3t，

又t∈[0,1]，所以(·)max＝4－3×0＝4，

(·)min＝4－3×1＝1.故·的取值范围是[1,4]．

5．如图，在▱OACB中，BD＝BC，OD与BA相交于点E.求证：BE＝BA．

证明　∵O，E，D三点共线，∴向量与向量共线．

则存在实数λ1，使得＝λ1.

而＝＋＝＋，则＝λ1＋.

又∵A，E，B三点共线，

∴与共线，则存在实数λ2，使＝λ2＝λ2(－)．

∴＝λ2－λ2.而＋＝，

∴＋λ2－λ2＝λ1＋.

即(1－λ2)＋λ2＝λ1＋.

∵与不共线，∴∴λ2＝.

∴＝，即BE＝BA．