新教材(辅导班)高一数学寒假讲义11《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》课时(原卷版)学案

这是一份新教材(辅导班)高一数学寒假讲义11《6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示》课时(原卷版)学案，共9页。


知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
知识点二 平面向量共线的坐标表示
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若P是线段P1P2的中点，
则点P的坐标为eq \(□,\s\up4(02))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))；
若P是线段P1P2上距P1较近的三等分点，
则P点的坐标为eq \(□,\s\up4(03))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x1＋x2,3)，\f(2y1＋y2,3)))；
若P是线段P1P2上距P2较近的三等分点，
则P点的坐标为eq \(□,\s\up4(04))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋2x2,3)，\f(y1＋2y2,3))).
1．线段定比分点的坐标公式
(1)线段定比分点的定义
如图所示，设点P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足eq \f(|\(P1P,\s\up16(→))|,|\(PP2,\s\up16(→))|)＝λ，
即eq \(P1P,\s\up16(→))＝λeq \(PP2,\s\up16(→))，λ叫做点P分有向线段eq \(P1P2,\s\up16(→))所成的比，P点叫做有向线段eq \(P1P2,\s\up16(→))的以λ为定比的定比分点．
(2)定比分点的坐标表示
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－x1＝λx2－x，,y－y1＝λy2－y，))
当λ≠－1时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋λx2,1＋λ)，,y＝\f(y1＋λy2,1＋λ).))则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).
特别地，
①当λ＝1时，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，这就是线段P1P2的中点坐标公式；
②若λ<0，则点P在P1P2的延长线或其反向延长线上，由向量共线的坐标表示及平行向量基本定理同样可得点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).
2．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，即两向量的相应坐标成比例．
3．向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面：
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线的知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a＝－2b.( )
(2)已知A(0,2)，B(4,4)，则线段AB的中点坐标为(2,3)．( )
(3)已知A(1，－3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，且A，B，C三点共线，则C点的坐标可能是(9,1)．( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b时，有eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)成立．( )
2．做一做
(1)下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
(2)已知向量a＝(2，－3)，若a＝2b，则b＝( )
A．(4，－6) B．(－6,4) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，1))
(3)若平面内三点A(－2,3)，B(3，－2)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，m))共线，则m为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．－2 D．2
(4)已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若eq \(AB,\s\up16(→))和eq \(CD,\s\up16(→))是相反向量，则D点的坐标为________．
题型一 向量数乘运算的坐标表示
例1 设向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)3a；(4)2a＋5b.
向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．
在▱ABCD中，eq \(AD,\s\up16(→))＝(3,7)，eq \(AB,\s\up16(→))＝(－2,3)，对称中心为O，则eq \(CO,\s\up16(→))等于( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
题型二 向量数乘运算的简单应用
例2 已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1,2
利用向量的坐标运算求参数的思路
已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．
已知向量eq \(AB,\s\up16(→))＝(4,3)，eq \(AD,\s\up16(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足eq \(PB,\s\up16(→))＝λeq \(BD,\s\up16(→))(λ∈R)，求λ与y的值．
题型三 向量共线
例3 (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________；
(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.
(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
已知向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq \r(3))．若a－2b与c共线，则k＝________.
题型四 点共线问题
例4 (1)若点A(1，－3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，C(x,1)共线，则x＝________；
(2)设向量eq \(OA,\s\up16(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up16(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up16(→))＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
三点共线的实质与证明步骤
(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．
(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．
已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(CD,\s\up16(→))共线；
(2)当向量eq \(AB,\s\up16(→))与eq \(CD,\s\up16(→))共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
题型五 定比分点坐标公式
例5 线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且eq \(M1M,\s\up16(→))＝－2eq \(MM2,\s\up16(→))，则点M的坐标为( )
A．(3,8) B．(1,3) C．(3,1) D．(－3，－1)
定比分点的两个特殊情况
(1)中点坐标公式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的中点为P(x，y)，则x＝eq \f(x1＋x2,2)，y＝eq \f(y1＋y2,2).
(2)重心坐标公式：在△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心坐标为Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y))满足eq \(P1P,\s\up16(→))＝λeq \(PP2,\s\up16(→))，求λ及y的值．
题型六 向量共线的应用
例6 在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up16(→))，eq \(OD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up16(→))，AD与BC交于点M，求点M的坐标．
[变式探究]
若将本例中的“eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up16(→))”改为“eq \(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up16(→))”，其他条件不变，再试求M点的坐标．
由向量共线求交点坐标的方法
如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC和OB的交点P的坐标．
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C．1 D．2
2．设点P是P1(1，－2)，P2(－3,5)连线上一点，且eq \(P2P,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2)eq \(PP1,\s\up16(→))，则点P的坐标为( )
A．(5，－9) B．(－9,5) C．(－7,12) D．(12，－7)
3．已知A(3，－6)，B(－5,2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点的坐标不可能是( )
A．(－9,6) B．(－1，－2) C．(－7，－2) D．(6，－9)
4．与a＝(12,5)平行的单位向量为________．
5．平面内给出三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，求解下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.