2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--数列知识点提优练习卷

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--数列知识点提优练习卷，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数列知识点提优练习卷一、选择题在等差数列 中，， 则    A．  B．  C．  D．  设 ，， 为实数，则“，， 成等比数列”是“，， 成等比数列”的  A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于  A．  B．  C．  D．  若数列 是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是  A．  B．  C．  D．  已知数列 满足 （），那么  A． 是等差数列 B． 是等差数列 C． 是等差数列 D． 是等差数列 已知等差数列 的前 项的和为 ，，则 等于  A．  B．  C．  D．  意大利数学家斐波那契（ 年 年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：，，，，，，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为 （设 是不等式 的正整数解，则 的最小值为  A．  B．  C．  D．  设等差数列 的前 项和为 ，在同一个坐标系中， 及 的部分图象如图所示，则  A．当 时， 取得最大值 B．当 时， 取得最大值 C．当 时， 取得最小值 D．当 时， 取得最小值 二、多选题设等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则  A．  B．  C．  D．  设数列 为等比数列，则下列数列一定为等比数列的是  A．  B．  C．  D．  已知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，则下列判断正确的  A．  B．若 ，则  C． 可能为  D． ，， 可能成等差数列 在数列 中，若 （，， 为常数），则称 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是  A．若 是等差数列，则 是等方差数列 B． 是等方差数列 C．若 是等方差数列，则 （， 为常数）也是等方差数列 D．若 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 三、填空题数列 中，，则     ． 已知在等差数列 中，，若对任意的 有 且 ，则     ． 已知函数 ．项数为 的等差数列 满足 ，且公差 ，若 ，则当               时，． 在数列 中，若对任意的 ，都有 ( 为常数)，则称数列 为比等差数列， 称为比公差，现给出以下命题：  等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；  若数列 满足 ，则数列 是比等差数列，且比公差 ；  若数列 满足 ，，，则该数列不是比等差数列；  若 是等差数列， 是等比数列，则数列 是比等差数列．其中所有真命题的序号是    ． 四、解答题已知 是等比数列，且 ，又 ，且 ，求 ． 已知等比数列 的各项均为正数，，公比为 ；等差数列 中，，且 的前 项和为 ，，．(1)  求 与 的通项公式；(2)  设数列 满足 ，求 的前 项和 ． 已知在数列 中，，前 项和为 ，且满足数列 是公差为 的等差数列．(1)  求数列 的通项公式；(2)  若 恒成立，求 的取值范围． 设无穷等差数列 的前 项和为 ．(1)  若首项 ，公差为 ，求满足 的正整数 ．(2)  求所有无穷等差数列 ，使对一切正整数 都有 成立． 若数列 是递增数列，数列 满足：对任意 存在 ，使得 ，则称 是 的“分隔数列”．(1)  设 ，，证明：数列 是 的分隔数列；(2)   ， 是 的前 项和，，判断数列 是否是数列 的分隔数列，并说明理由；(3)  设 ， 是 的前 项和，若数列 是 的分隔数列，求实数 ， 的取值范围． 在数列 中，若 （，， 为常数），则称 为“平方等差数列”．(1)  若数列 是“平方等差数列”，，，写出 ， 的值．(2)  如果一个公比为 的等比数列为“平方等差数列”，求证：．(3)  若一个“平方等差数列” 满足 ，，，设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，，使不等式 对一切 都成立？若存在，求出 ， 的值；若不存在，说明理由．
答案一、选择题1.  【答案】A【解析】等差数列中，．【知识点】等差数列的基本概念与性质 2.  【答案】A【知识点】充分条件与必要条件、等比数列的基本概念与性质 3.  【答案】D【知识点】等差数列的前n项和、等差数列的基本概念与性质 4.  【答案】C【知识点】等比数列的基本概念与性质 5.  【答案】D【解析】由 得 ，，，所以 ，令 （）得 ．所以选（D）．【知识点】等差数列的基本概念与性质 6.  【答案】C【解析】由等差数列性质，知 ，得 ，而 ，因此公差 ，所以 ．【知识点】等差数列的前n项和 7.  【答案】C【解析】因为 是不等式 的正整数解，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，令 ，则数列 即为斐波那契数列，所以 ，即 ，显然数列 为递增数列，所以数列 亦为递增数列，不难知道 ，，且 ，，所以使得 成立的 的最小值为 ，所以使得 成立的 的最小值为 ．【知识点】数列的递推公式、数列的单调性 8.  【答案】A【解析】由题可得等差数列 中 与 的值可能为① ，，；② ，，；③ ，，；④ ，，；① ，，；由 与 解得 ， 与 矛盾，舍去；② ，，；由 ，得 ，又 ，所以 ，所以 与 矛盾，舍去；③ ，，；由 和 解得 ，则 与 矛盾，舍去；④ ，，；由 ， 解得 ，由 ，所以 ， 符合题意．因为 ，，，所以当 时， 取得最大值．【知识点】等差数列的前n项和、等差数列的基本概念与性质 二、多选题9.  【答案】A；C【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 解得 所以 ， ．【知识点】等差数列的前n项和 10.  【答案】A；B【解析】设数列 的首项为 ，公比为 ，则 ，A，，所以数列 是公比为 的等比数列；B，，所以数列 是公比为 的等比数列；C，因为 ，所以当 时， 不是一个常数，所以数列 不是等比数列；D, 当 时 不是一个非零常数，所以数列 不是等比数列．【知识点】等比数列的基本概念与性质 11.  【答案】A；C；D【解析】A选项：因为数列 是首项为 的等差数列，所以 ，所以 ，故A正确；B选项：当 时，  所以 ，故B错误；C选项：，所以 ，所以 ，当 时， 且常数列是特殊等差数列，故C正确；D选项：，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，， 可能为等差数列，故D正确．故选ACD．【知识点】等差数列的基本概念与性质 12.  【答案】B；C；D【解析】在选项A中，取 ，则 是等差数列，且 ，则 ，不是常数，所以 不是等方差数列，所以A错误．在选项B中，，是常数，所以 是等方差数列，所以B正确．在选项C中，由 是等方差数列，得 ，从而 ．所以 ，是常数，所以 是等方差数列，所以C正确．在选项D中，由 是等差数列，可设公差为 ，则 ，又 是等方差数列，所以 ．所以 ，从而 ．两式相减得，，解得 ，所以 是常数列，所以D正确．【知识点】数列创新题 三、填空题13.  【答案】 【知识点】数列的周期性 14.  【答案】 【解析】因为 ，又 ，所以 ，即 ．因为 ，所以 ．又 是等差数列，所以 ．所以 ，解得 ．【知识点】等差数列的前n项和 15.  【答案】【解析】提示：函数 为奇函数， 时，满足题意．又因为此函数在 上为增函数，所以 只能等于 ．【知识点】等差数列、函数的奇偶性 16.  【答案】  【解析】①，若数列 为等比数列，且公比为 ，则 ，为常数，故等比数列一定是比等差数列，若数列 为等差数列，且公差为 ，当 时，，为常数，是比等差数列，当 时， 不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故①正确；②，若数列 满足 ，则 ，不是常数，故数列 不是比等差数列，故②错误；③，若数列 满足 ，，，可得 ，，故 ，，显然 ，故该数列不是比等差数列，故③正确；④，若 是等差数列， 是等比数列，若 为 列，则数列 为 列，显然不满足定义，即数列 不是比等差数列，故④错误．【知识点】等差数列的基本概念与性质、等比数列的基本概念与性质 四、解答题17.  【答案】 是等比数列，所以 ，所以 ，所以 ．【知识点】等比数列的基本概念与性质 18.  【答案】(1)  设数列 的公差为 ，因为 ，，所以 ，，，． ，． (2)  由题意得：，． ． 【知识点】等比数列的前n项和、裂项相消法 19.  【答案】(1)  因为 ，所以 ，又因为数列 是公差为 的等差数列，所以 ，即 ．(2)  因为 ，所以 ．于是 ，即为 ，整理可得 ．设 ，则 ．令 ，解得 ，，所以 ，，故数列 的最大项的值为 ，故 ，因此，实数 的取值范围是 ．【知识点】裂项相消法、等差数列的基本概念与性质 20.  【答案】(1)   ．(2)   ．【知识点】等差数列的前n项和 21.  【答案】(1)  对任意 ，存在 ，使得 ，即 ，存在 或 ，使得 成立，因此数列 是 的分隔数列．(2)   ，，当 时，，，假设存在 使得 ，即：，  得 或 ，即 或 ，但 ，故符合条件的正整数不存在．所以当 时，不存在 ，使得 ，即数列 不是数列 的分隔数列．(3)  因为 是递增数列，且 ，所以 或 ①当 ， 时，由于 单调递减，可得 ，所以不存在 ，使得 ，所以，数列 不是数列 的分隔数列．②当 ， 时，  当 ，即 时，对任意 ，，又因为 ，所以 ，所以，存在 ，使得 ，即 ，亦即 ，数列 是数列 的分隔数列．  当 ，即 时，对任意 ，假设存在 ，使得 ，即 ，即 ，设 ，易得 单调递增，且 ，，所以存在 ，使得 ，即 ，由 ，得 ，即得 ，由 ，得 ，即得 ，于是有 所以当 时，；当 时，，所以当 时，不存在 ，使得 ，故假设不成立．此时，数列 不是数列 的分隔数列，所以，当 且 时，数列 是数列 的分隔数列．【知识点】数列创新题 22.  【答案】(1)  由数列 是“平方等差数列”，，，得 ，则 ，，所以 ，．(2)  设数列 为公比为 的等比数列，则 ，，若数列 是“平方等差数列”，则有  所以 ，即 ．(3)  因为平方等差数列 中，，，，则 ，所以 ，所以数列 的前 项和， ，假设存在正整数 ， 使不等式 对 都成立，即 ，当 时，，所以 ，又 ， 为正整数，所以 ．下面证明： 对一切 都成立，由于 （），所以  故存在正整数 ，，使不等式 对一切 都成立．【知识点】数列创新题