2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何知识点练习卷（C）

这是一份2021-2022年人教A版（2019）高考数学复习--立体几何知识点练习卷（C），共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
立体几何C卷（共22题） 一、选择题（共8题）如图所示，在长方体木块 中，， 分别是 和 的中点，则长方体的各棱中与 平行的有  A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 若两个球的表面积之比为 ，则这两个球的体积之比为  A．  B．  C．  D．  在正方体 中， 是 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为  A．  B．  C．  D．  在空间四边形 中，，且异面直线 与 所成的角为 ，， 分别是边 和 的中点，则异面直线 和 所成的角等于  A．  B．  C．  D． 或  已知 ，，设 在直线 上，且 ，设 ，若 ，则 的值为  A．  B．  C．  D．  平行四边形 中，，，将 绕 旋转至与面 重合，在旋转过程中（不包括起始位置和终止位置），有可能正确的是  A．  B．  C．  D．  如图，在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是侧面 内一点，若 ，则线段 长度的取值范围是     A． B． C． D． 母线长为 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角 等于     A． B． C． D． 二、多选题（共4题）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 相等，下列结论正确的是  A．圆柱的侧面积为  B．圆锥的侧面积为  C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为  如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，，侧面 为正三角形，且 ，则下列说法正确的是  A．在线段 上存在一点 ，使  B．异面直线 与 所成的角为  C．二面角 的大小为  D．  已知 ， 表示两条不重合的直线，，， 表示三个不重合的平面，给出下列命题，其中正确的是  A．若 ，，且 ，则  B．若 ， 相交且都在 ， 外，，，，，则  C．若 ，，则  D．若 ，，，则  在空间直角坐标系 中，棱长为 的正四面体 的顶点 ， 分别为 轴和 轴上的动点（可与坐标原点 重合），记正四面体 在平面 上的正投影图形为 ，则下列说法正确的有  A．若 ，则 可能为正方形 B．若点 与坐标原点 重合，则 的面积为  C．若 ，则 的面积不可能为  D．点 到坐标原点 的距离不可能为  三、填空题（共4题）侧棱长为 的正三棱锥，若其底面周长为 ，则该正三棱锥的体积是    ． 已知四面体 的四个顶点均在球 的表面上， 为球 的直径，，，四面体 的体积最大值为    ． 如图，正方体 的棱长为 ，过点 作平面 的垂线，垂足为 ，有下面三个结论：① 是 的中心；② 垂直于平面 ；③直线 与直线 所成的角是 ．其中正确结论的序号是    ． 多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点 在平面 内，其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点 相邻的三个顶点到 的距离分别为 ， 和 ， 是正方体的其余四个顶点中的一个，则 到平面 的距离可能是：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．以上结论正确的为    ．（写出所有正确结论的编号） 四、解答题（共6题）根据下列条件作图：(1)   ，，．(2)   ，，，且 ，， . 已知三棱柱 的所有棱长都相等，，．(1)  求证：；(2)  求二面角 的余弦值． 在正四棱柱 中，已知 ，，点 ， 分别为 ， 上的点，且 ．(1)  求证：；(2)  求点 到平面 的距离． 在四棱锥 中，，，，，， 为 中点．(1)  证明：；(2)  若三棱锥 的体积为 ，求 到平面 的距离． 如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 是等边三角形，，， 为棱 上一点， 为棱 的中点，四棱锥 的体积为 ．(1)  若 为棱 的中点， 是 的中点，求证：；(2)  是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 ?若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由． 如图 1，在直角梯形 中，，，，．将 沿 折起，使 ，得到几何体 ，如图所示 2．(1)  求几何体 的体积；(2)  求二面角 的正切值；(3)  求几何体 的外接球的表面积．
答案一、选择题（共8题）1.  【答案】B【知识点】空间中直线与直线平行 2.  【答案】C【解析】若两个球的表面积之比为 ，则半径之比为 ，体积之比为 ．【知识点】球的表面积与体积 3.  【答案】B【解析】建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ，则 ，，，．所以 ，，．设平面 的法向量为 ．因为 ，，所以 所以 令 ，则 ．所以 ．设直线 与平面 所成角为 ，则 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、线面角 4.  【答案】D【知识点】异面直线所成的角 5.  【答案】B【解析】设 ，则 ，，．因为 ，所以 所以 即 ，所以 ．因为 ，所以 ，所以 ．【知识点】空间向量的坐标运算 6.  【答案】B【知识点】空间中直线与直线的垂直、空间中直线与直线平行 7.  【答案】B【解析】如图，分别取 、 中点 、 ，连接 、 、 ，则 ，所以点 一定在 上，当 位于 或 时， 最大为 ；当 位于 中点 时， 最小为 ．【知识点】空间的平行关系、空间线段的长度 8.  【答案】D【解析】  如图设 ，则 ，，体积为 ，因为 ，所以 ，故 ，当 时，即 时，“ ” 成立，有弧长公式得 ，所以 ．【知识点】表面积与体积、展开图 二、多选题（共4题）9.  【答案】C；D【解析】依题意得球的半径为 ，则圆柱的侧面积为 ，所以A错误；圆锥的侧面积为 ，所以B错误；球的表面积为 ，与圆柱的侧面积相等，所以C正确；因为 ，，，所以 ，所以D正确．【知识点】球的表面积与体积、圆锥的表面积与体积、圆柱的表面积与体积 10.  【答案】A；B；C【解析】对于A选项，如图，取 的中点 ，连接 ，，连接 ，，交于点 ．因为侧面 为正三角形，所以 ．又底面 是菱形，，所以 是等边三角形，所以 ．又 ，，所以 ，故A正确．对于B选项，因为 ，所以 ，即异面直线 与 所成的角为 ，故B正确．对于C选项，因为 ，，所以 ．因为 ，所以 ，，所以 是二面角 的平面角．设 ，则 ，．在 中，，即 ，故二面角 的大小为 ，故C正确．对于D选项，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直，故D错误．故选ABC．【知识点】二面角 11.  【答案】B；D【解析】A错误，也可能 ；B正确，设 ， 确定的平面为 ，依题意，得 ，，故 ；C错误，也可能 ；由线面平行的性质定理可知D正确．故选BD．【知识点】空间的平行关系 12.  【答案】A；B；D【解析】（）考查选项A：若 ，考虑以下特殊情形：①当点 与坐标原点 重合时， 为正方形；②当点 与坐标原点 重合时， 为三角形，故选项A正确；（）考查选项B：若点 与坐标原点 重合，即 在 轴上，易知 ，且 为三角形，不难知道其面积为 ，故选项B正确；（）考查选项C：当 ，且点 在正四面体 外部时，则点 恰好为以 ，， 为棱的正方体的一个顶点，因为 ，所以 ，所以 是边长为 的正方形，其面积为 ，选项C错误；（不难知道当 ，且点 在正四面体 内部时， 为三角形，且其面积为 ）（）考查选项D：设 的中点为 ，则 ，且 ，易知 ，即 ，所以点 到坐标原点 的距离小于 ，故选项D正确．综上所述，应选A，B，D．【知识点】三视图 三、填空题（共4题）13.  【答案】【知识点】棱锥的表面积与体积 14.  【答案】 【解析】如图所示，四面体 内接于球 ，因为 为球 的直径，所以 ，因为 ，，所以 ，过 作 于 ，所以 ，则 ，所以点 在以 为圆心， 为半径的小圆上运动，当 时，四面体 的体积达到最大，因为 ，，，所以 ，所以  【知识点】棱锥的表面积与体积 15.  【答案】①②③【解析】连接 ，，．因为 ，，所以 ，所以 ．又因为 是等边三角形，所以 是 的中心，所以①正确．因为 ，，，，所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ．又因为 ． 所以 ．同理可证 ．又因为 ，所以 ．又因为 垂直于平面 ，所以 垂直于平面 ．所以②正确．连接 ，，，因为四边形 是正方形，所以 ．因为 ，，所以 ．又因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ，所以直线 与 所成的角是 ．所以③正确．【知识点】直线与平面垂直关系的判定、异面直线所成的角 16.  【答案】①③④⑤【解析】如图， 到平面 的距离分别为 ．  的中点到平面 的距离为 ，所以 到平面 的距离为 ，如图：同理， 的中点到平面 的距离为 ，所以 到平面 的距离为 ；  的中点到平面 的距离为 ，所以 到平面 的距离为 ；  的中点到平面 的距离为 ，所以 到平面 的距离为 ；而 为 中的一点，所以选①③④⑤．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 四、解答题（共6题）17.  【答案】(1)  略(2)  略【知识点】平面的概念与基本性质 18.  【答案】(1)  设直线 与直线 交于点 ，连接 ，因为四边形 是菱形，所以 ，因为 ， 为 的中点，所以 ，因为 ，所以 ．(2)  取 中点 为坐标原点，如图，分别以 ，， 所在直线为 ，， 轴，建立空间直角坐标系，设棱柱的棱长为 ，则 ，，，， ，，，设平面 的一个法向量 ，则 取 ，得 ，设平面 的一个法向量为 ，则 取 ，得 ，设二面角 的平面角为 ，则 ．所以二面角 的余弦值为 ．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角 19.  【答案】(1)  以 为原点，以 ，， 的正向分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，．于是 ，，．从而 ，，所以 ，，且 ，所以 ． (2)  由（）知， 为平面 的一个法向量，所以，向量 在 上的射影长即为 到平面 的距离，设为 ，于是 ,故点 到平面 的距离为 ． 【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 20.  【答案】(1)  取 的中点为 ，连接 ，．因为 是 的中点，所以 ，，因为 ，且 ，所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 ，，所以 ．(2)  因为 是 的中点，所以 ，因为 ．所以 ，因为 ，，所以 ，所以 ，又因为 ，，所以 ，所以 ．设点 到平面 的距离为 ，则 ，所以 ，故 到平面 的距离为 ．【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离） 21.  【答案】(1)  在等边三角形 中， 为 的中点，于是 ，又 ， ， ，所以 ，所以 是四棱锥 的高，设 ，则 ， ，所以 ，所以 ，如图，以点 为坐标原点， 所在直线为 轴，过点 且与 平行的直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，所以 ，，设 是平面 的法向量，则 即 令 ，则 ，，所以 ．同理可得平面 的一个法向量 ．因为 ，所以 ．(2)  存在.理由如下：设 ， ，，设平面 的一个法向量为 ，则  令 ，则 ，易知平面 的一个法向量 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以存在点 ，位于 上靠近 点的三等分点．【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、利用空间向量判定面面的垂直、平行关系、二面角 22.  【答案】(1)  在直角梯形中，知 ，所以 ，所以 ．取 中点 ，连接 ，则 ，又 ，且 ，，从而 ，所以 ．又 ，，所以 ．因为 ，所以三棱锥 的体积为：，由等体积性知几何体 的体积为 ．(2)  记 中点为 ，过 作 ，连接 ，，因为 ， 为 中点，所以 ．因为平面 ，平面 ，所以 ，所以 ．又因为 ，且 ，所以 ，所以 ，所以 是二面角 的平面角．因为 ，，所以 ．(3)  为 中点， 为 中点，连接 ，，，因为 ，，所以 ，．又因为 ，所以 的外接球的球心为 ，半径为 ，所以 的外接球的表面积为 ．【知识点】球的表面积与体积、二面角、棱锥的表面积与体积