高一数学北师大版选修1-1 创新演练阶段质量检测第二章 阶段质量检测教案

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是(　　)

A．(2,0)　　　　　　　　   B．(－2,0)

C．(4,0)        D．(－4,0)

解析：抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(－2,0)．

答案：B

2．如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)       B．(1,2)

C.        D．(0,1)

解析：椭圆的标准方程为：＋＝1，∴0<k<1.

答案：D

3．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|等于(　　)

A.         B．2

C.         D．2

解析：设点P(x，y)，由·＝0，得点P满足在以F1F2为直径的圆上，即x2＋y2＝10.又＋＝2＝(－2x，－2y)，

∴|＋|＝2.

答案：B

4．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为(　　)

A.         B. 

C.         D.

解析：直线l与x轴交于(－2,0)，与y轴交于(0,1)．由题意c＝2，b＝1，

∴a＝，∴e＝＝.

答案：D

5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为(　　)

A.         B．1

C．2         D．4

解析：由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x＝－.

∴3－＝4，∴p＝2.

答案：C

6．一动圆P与圆O：x2＋y2＝1外切，而与圆C：x2＋y2－6x＋8＝0内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)

A．双曲线的一支      B．椭圆

C．抛物线        D．圆

解析：圆C的方程即(x－3)2＋y2＝1，圆C与圆O相离，设动圆P的半径为R.

∵圆P与圆O外切而与圆C内切，

∴R>1，且|PO|＝R＋1，|PC|＝R－1，又|OC|＝3，

∴|PO|－|PC|＝2<|OC|，即点P在以O，C为焦点的双曲线的右支上．

答案：A

7．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)

A．(0,1)        B.

C.        D.

解析：由题意知，点M的轨迹为以焦距为直径的圆，则c<b，

∴c2<b2.又b2＝a2－c2，∴e2<.

又e∈(0,1)，∴e∈.

答案：C

8．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是2，且a>b，则双曲线－＝1的离心率为(　　)

A.          B.

C.          D.

解析：由题意知解得a＝5，b＝4，

∴c＝＝＝.

∴双曲线的离心率e＝＝.

答案：D

9.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)

A．3         B．2

C.         D.

解析：设焦点F(±c,0)，双曲线的实半轴长为a，则双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝2.

答案：B

10．(2012·大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝(　　)

A.         B.

C.         D.

解析：因为|PF1|－|PF2|＝2，且|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，而|F1F2|＝4，由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝.

答案：C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)

11．若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线－＝1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．

解析：由题意可知，双曲线－＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)、(，0)，设椭圆C的方程是＋＝1(a>b>0)，则a＝3，c＝，b＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

答案：＋＝1

12．若曲线＋＝1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是________．

解析：∵k＋5>k－2，∴当k＋5>k－2>0时，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆．此时c2＝(k＋5)－(k－2)＝7，焦点坐标为(0，±)．

当k＋5>0>k－2时，方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线．此时c2＝(k＋5)＋(2－k)＝7焦点坐标为(0，±)．

答案：(0，±)

13．抛物线C的顶点在原点，对称轴为y轴，若过点M(0,1)任作一条直线交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1x2＝－2，则抛物线C的方程为________．

解析：由题意可设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，直线方程为y＝kx＋1.消去y得x2－2pkx－2p＝0.

∴x1x2＝－2p，又x1x2＝－2，

∴p＝1，抛物线方程为x2＝2y.

答案：x2＝2y

14．以下关于圆锥曲线的命题中：

①设A，B为两个定点，k为非零常数，|||－|||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．

其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)

解析：对于①，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于③④，显然成立．

答案：③④

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为，求抛物线与双曲线的方程．

解：∵交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x轴，

∴可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．

∵点在抛物线上，

∴()2＝2p×.∴p＝2.∴y2＝4x.

∵y2＝4x的准线为x＝－1，且过双曲线的焦点，

∴－c＝－1，c＝1.∴a2＋b2＝1.      ①

又∵点在双曲线上，∴－＝1.   ②

联立①②可得，a2＝，b2＝.

∴双曲线的方程为4x2－y2＝1.

故所求抛物线与双曲线的方程分别为y2＝4x或4x2－y2＝1.

16．(本小题满分12分)已知直线y＝x与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2⊥x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若·＝2，求椭圆的标准方程．

解：由已知设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，F2(c，0)，

则M点的横坐标为c.

∴M点的坐标为.

∴＝，

＝.

∴·＝c2.

由已知得c2＝2，∴c＝2.

又在Rt△MF1F2中，

|F1F2|＝4，|MF2|＝，

∴|MF1|＝＝3.

∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝4.

∴a＝2.∴b2＝4.

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

17．(本小题满分12分)(2011·陕西高考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，

又e＝＝，得＝，

即1－＝，∴a＝5，

∴C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，

得＋＝1，

即x2－3x－8＝0，

解得x1＝，x2＝，

设AB的中点坐标＝＝，

＝＝(x1＋x2－6)＝－，

即中点坐标为.

注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．

18．(本小题满分14分)

如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，作PD⊥x轴，D为垂足，

M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

解：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，

由已知得

∵P在圆上，

∴x2＋2＝25，即C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，

得＋＝1，即x2－3x－8＝0.

∴x1＝，x2＝.

∴线段AB的长度为|AB|

＝＝ ＝ ＝.