2012数学第7章 7.2.2《分步乘法计数原理》知能优化训练（湘教版选修2-3）教案

1．5A＋4A＝(　　)

A．107　　　　　　　　　　 B．323

C．320   D．348

解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.

2．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有(　　)

A．30个　　　　　　　　 B．36个

C．40个   D．60个

解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A种选法．由分步乘法计数原理，共有A×A＝36个无重复数字的三位奇数．

3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为(　　)

A．42   B．30

C．20   D．12

解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A种；②两个新节目不相邻的插法有A种．故N＝6×2＋6×5＝42(种)．

4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法

解析：先装红球，且每袋一球，所以有A×A＝96(种)．

答案：96

一、选择题

1．下列各式中与排列数A相等的是(　　)

A.　　　　　　　 B．n(n－1)(n－2)…(n－m)

C.·A   D．A·A

解析：选D.A＝＝，

A·A＝n·

＝n·＝.

2．设x∈N＋，且x＜23，则(23－x)(24－x)…(30－x)可化为(　　)

A．A   B．A

C．A   D．A

解析：选D.这是排列数公式的逆用，选确定最大数即n，再确定因式的个数，即m.n＝30－x，m＝(30－x)－(23－x)＋1＝8，故(23－x)(24－x)…(30－x)＝A.

3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为(　　)

A．720   B．144

C．576   D．684

解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A×A；不考虑任何限制，6人的全排列有A种．

∴符合题意的排法种数为：A－A×A＝576.

4．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有(　　)

A．300种   B．240种

C．144种   D．96种

解析：选B.A地区有A种方法，其余地区有A种方法，共有AA＝240(种)．

5．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有(　　)

A．48个   B．36个

C． 24个   D．18个

解析：选B.个位数字是2的有3A＝18(个)，个位数字是4的有3A＝18(个)，所以共有36个．

6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是(　　)

A．36   B．32

C．28   D．24

解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A×A＝24(个)；②若5在中间三位，共有A×A×A＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．

二、填空题

7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．

解析：2A＝48.

答案：48

8．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．

解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A＝24(种)，故有24种不同坐法．

答案：24

9．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为________(用数字作答)．

解析：先在前3节课中选一节安排数学，有A种安排方法；

在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A种安排方法；

其余4节课无约束条件，有A种安排方法．根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A·A·A＝288.

答案：288

三、解答题10．从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个作系数，(1)可以组成多少个不同的一元二次方程ax3＋bx＋c＝0？(2)其中有实根的方程有多少个？

解：首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有A种，然后从余下的4个数中任选两个作b、c，有A种．

∴由分步计数原理，共组成一元二次方程：

A·A＝48个．

(2)方程要有实根，必须满足

Δ＝b2－4ac≥0.

分类讨论如下：

当c＝0时，a，b可在1,3,5,7中任取两个排列，有A个；

当c≠0时，分析判别式知b只能取5,7.当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A种；当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，有2A种．此时共有(A＋2A)个．

由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有A＋A＋2A＝18个．

11．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少无重复数字的

(1)六位奇数；

(2)个位数字不是5的六位数；

(3)不大于4310的四位偶数？

解：(1)法一：从特殊位置入手(直接法)

分三步完成，第一步先排个位，有A种排法，第二步再排十万位，有A种排法，第三步排其他位，有A种排法，故共有

AAA＝288(个)六位奇数．

本小题第一步若先排十万位，则个位上数字的排法与十万位上所排数字是奇数还是偶数有关，故须分类，因此最好先排个位．

法二：从特殊元素入手(直接法)

0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有A种排法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．

法三：排除法

6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的排列数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数有3A个，故对应的六位奇数的排列数为A－3A－3A＝288(个)．

(2)法一：排除法

0在十万位且5在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位且5在个位的情况．

故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．

法二：直接法

个位不排5，有A种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类．

第一类：当个位排0时，有A个；

第二类：当个位不排0时，有AAA个．

故共有符合题意的六位数A＋AAA＝504(个)．

(3)①当千位上排1,3时，有AAA个；

②当千位上排2时，有AA个；

③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A个，形如41××的有A·A个．形如43××的只有4310和4302这两个数，故共有AAA＋AA＋2A＋AA＋2＝110(个)．

12．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．

(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？

(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？

解：(1)先排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步计数原理，

共有AA＝720种分工方案．

(2)7人中任意分工方案有A种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A－AA＝3600(种)．