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2023-2024学年湘教版选择性必修第二册 数列在日常经济生活中的应用 课件
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这是一份2023-2024学年湘教版选择性必修第二册 数列在日常经济生活中的应用 课件，共42页。
知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS知识梳理·读教材 一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活.问题 面对商家和银行提供的各种分期付款服务，你知道选择什么样的方式更好吗？ 知识点 单利、复利1.单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息 不再计算利息 ，其公式为：利息＝ 本金×利率×存期 .以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和，则有 S＝P（1＋nr） .2.复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 S＝P（1＋r）n .不再计算利息 本金×利率×存期 S＝P（1＋nr） S＝P（1＋r）n 1.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（ ）解析：依题意可知第一年后的价值为a（1－b%），第二年后的价值为a（1－b%）2，依此类推可知每年后的价值成等比数列，其首项为a（1－b%），公比为1－b%，所以n年后这批设备的价值为a（1－b%）n.故选D.2.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m.那么从开始运动几分钟后第二次相遇（ ） 3.银行一年定期的存款利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期，……，则10年后到期本利共 元. 解析：由题意知，第一年本利和为：a（1＋p）元，第二年本利和为：a（1＋p）（1＋p）＝a（1＋p）2元，第三年本利和为：a（1＋p）2（1＋p）＝a（1＋p）3元，以此类推，第十年本利和为：a（1＋p）10元.答案：a（1＋p）10题型突破·析典例 题型一 零存整取模型（单利计算问题） （1）试解释这个本利和公式； （2）若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12个月底的本利和是多少？ （3）若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月应存入多少金额？ 通性通法 单利的计算问题是等差数列模型的应用，求解时按照等差数列模型确立相应的基本量. 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？ （2）若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？ （精确到1元） 题型二 定期自动转存模型（复利计算问题）【例2】 用10 000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？解 （1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}， 则{an}是等比数列，首项a1＝104（1＋0.400%），公比q＝1＋0.400%， 所以a12＝ 104（1＋0.400%）12≈10 490.7.所以12个月后的利息为10 490.7－104≈491（元） .（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10－5）？ 通性通法 复利的计算问题是等比数列问题的实际应用，求解时注意建立等比数列模型. 小张为实现“去北京，看奥运”的梦想，于2017年起，每年2月1日到银行新存入a元（一年定期），若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2022年2月1日，将所有存款及利息全部取回，试求他可以得到的总钱数.解：依题意每一年的本息和构成数列{an}，则2017年2月1日存入的a元钱到2018年1月31日所得本息和为a1＝a（1＋r）.同理，到2019年1月31日所得本息和为a2＝[a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）2＋a（1＋r），到2020年1月31日所得本息和为[a（1＋r）2＋a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）， 题型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器， 其价格为1 150元.购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完.若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？ 通性通法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息，而不是950元的利息，而最后一次付款的利息是50元欠款的利息. 某人在2023年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰， 按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？（参考数据： 1.003 375120≈1.498 28）解：法一 由题意知借款总额a＝200 000元，还款次数n＝12×10＝120，还款期限m＝10年＝120个月，月利率r＝3.375‰. 法二 设每月应还贷x元，共还款12×10＝120（次），则有x[1＋（1＋0.003 375）＋（1＋0.003 375）2＋…＋（1＋0.003 375）119]＝200 000×（1＋0.003 375）120，解方程得x≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元. 1.某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰（按单利计算），则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是（ ）解析：存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5（1＋2＋3＋…＋12）元，故选A.2.某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足（ ） 3.若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则a≈ （最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，1－0.511≈0.999 5）. 答案：2004.某厂2021年的产值为a万元，预计产值每年以n%递增，则该厂到2035年末的产值（单位：万元）是 . 解析：∵2021年的产值为a万元，预计产值每年以n%递增，则每一年的产值构成以a为首项，以1＋n%为公比的等比数列，∴a2 035＝a2 021·（1＋n%）14＝a·（1＋n%）14.答案：a·（1＋n%）14 5.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.（1）用一个式子表示第n（n∈N＋）年这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解：（2）当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×（0.9）5－1≈8.857.∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元.知能演练·扣课标 1.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（ ） 2.某市为鼓励全民健身，从2023年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材.已知7月投放A型健身器材300台、B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为（ ） 3.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） 4.（多选）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r，每年还一次款且还款数为X万元，则（ ） 5.某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防.规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留 毫克. 解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×（1－60%）＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×（1－60%）＝343.2.答案：343.26.某企业年初有资金S万元，如果企业经过生产经营使每年资金增长率平均为25%，但每年年底却要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过2年资金增长50%（扣除消费基金后）的目标，那么每年应扣除消费基金 万元. 7.小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年（存12次），到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为 元. 答案：78ar8.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%，乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元.（假定利率五年内保持不变，结果精确到分） 解析：甲所得本息之和为104·（1＋2.88%·0.8×5），乙所得本息之和为104·（1＋2.25%·0.8）5，差为219.01元.答案：219.01
知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS知识梳理·读教材 一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活.问题 面对商家和银行提供的各种分期付款服务，你知道选择什么样的方式更好吗？ 知识点 单利、复利1.单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息 不再计算利息 ，其公式为：利息＝ 本金×利率×存期 .以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和，则有 S＝P（1＋nr） .2.复利：复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 S＝P（1＋r）n .不再计算利息 本金×利率×存期 S＝P（1＋nr） S＝P（1＋r）n 1.一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为（ ）解析：依题意可知第一年后的价值为a（1－b%），第二年后的价值为a（1－b%）2，依此类推可知每年后的价值成等比数列，其首项为a（1－b%），公比为1－b%，所以n年后这批设备的价值为a（1－b%）n.故选D.2.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动.甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m.那么从开始运动几分钟后第二次相遇（ ） 3.银行一年定期的存款利率为p，如果将a元存入银行一年定期，到期后将本利再存一年定期，到期后再存一年定期，……，则10年后到期本利共 元. 解析：由题意知，第一年本利和为：a（1＋p）元，第二年本利和为：a（1＋p）（1＋p）＝a（1＋p）2元，第三年本利和为：a（1＋p）2（1＋p）＝a（1＋p）3元，以此类推，第十年本利和为：a（1＋p）10元.答案：a（1＋p）10题型突破·析典例 题型一 零存整取模型（单利计算问题） （1）试解释这个本利和公式； （2）若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12个月底的本利和是多少？ （3）若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和2 000元，那么每月应存入多少金额？ 通性通法 单利的计算问题是等差数列模型的应用，求解时按照等差数列模型确立相应的基本量. 王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.（1）欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？ （2）若教育储蓄存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？ （精确到1元） 题型二 定期自动转存模型（复利计算问题）【例2】 用10 000元购买某个理财产品一年.（1）若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？解 （1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}， 则{an}是等比数列，首项a1＝104（1＋0.400%），公比q＝1＋0.400%， 所以a12＝ 104（1＋0.400%）12≈10 490.7.所以12个月后的利息为10 490.7－104≈491（元） .（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到10－5）？ 通性通法 复利的计算问题是等比数列问题的实际应用，求解时注意建立等比数列模型. 小张为实现“去北京，看奥运”的梦想，于2017年起，每年2月1日到银行新存入a元（一年定期），若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2022年2月1日，将所有存款及利息全部取回，试求他可以得到的总钱数.解：依题意每一年的本息和构成数列{an}，则2017年2月1日存入的a元钱到2018年1月31日所得本息和为a1＝a（1＋r）.同理，到2019年1月31日所得本息和为a2＝[a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）2＋a（1＋r），到2020年1月31日所得本息和为[a（1＋r）2＋a（1＋r）＋a]（1＋r）＝a（1＋r）3＋a（1＋r）2＋a（1＋r）， 题型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器， 其价格为1 150元.购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完.若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？ 通性通法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息，而不是950元的利息，而最后一次付款的利息是50元欠款的利息. 某人在2023年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率为3.375‰， 按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷.如果10年还清，那么每月应还贷多少元？（参考数据： 1.003 375120≈1.498 28）解：法一 由题意知借款总额a＝200 000元，还款次数n＝12×10＝120，还款期限m＝10年＝120个月，月利率r＝3.375‰. 法二 设每月应还贷x元，共还款12×10＝120（次），则有x[1＋（1＋0.003 375）＋（1＋0.003 375）2＋…＋（1＋0.003 375）119]＝200 000×（1＋0.003 375）120，解方程得x≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元. 1.某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰（按单利计算），则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是（ ）解析：存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5（1＋2＋3＋…＋12）元，故选A.2.某工厂购买一台机器价格为a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a，b满足（ ） 3.若某政府增加环境治理费用a亿元，每个受惠的居民会将50%的额外收入用于国内消费，经过10轮影响之后，最后的国内消费总额为400亿元，则a≈ （最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1，1－0.511≈0.999 5）. 答案：2004.某厂2021年的产值为a万元，预计产值每年以n%递增，则该厂到2035年末的产值（单位：万元）是 . 解析：∵2021年的产值为a万元，预计产值每年以n%递增，则每一年的产值构成以a为首项，以1＋n%为公比的等比数列，∴a2 035＝a2 021·（1＋n%）14＝a·（1＋n%）14.答案：a·（1＋n%）14 5.某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.（1）用一个式子表示第n（n∈N＋）年这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解：（2）当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×（0.9）5－1≈8.857.∴用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元.知能演练·扣课标 1.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（ ） 2.某市为鼓励全民健身，从2023年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材.已知7月投放A型健身器材300台、B型健身器材64台，计划8月起，A型健身器材每月的投放量均为a台，B型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A，B两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a的最小值为（ ） 3.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） 4.（多选）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r，每年还一次款且还款数为X万元，则（ ） 5.某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防.规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时第一次服药，到第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留 毫克. 解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×（1－60%）＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×（1－60%）＝343.2.答案：343.26.某企业年初有资金S万元，如果企业经过生产经营使每年资金增长率平均为25%，但每年年底却要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过2年资金增长50%（扣除消费基金后）的目标，那么每年应扣除消费基金 万元. 7.小王每月除去所有日常开支，大约结余a元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年（存12次），到期取出本金和利息.假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息.那么，小王存款到期利息为 元. 答案：78ar8.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%，乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄.按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税.若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元.（假定利率五年内保持不变，结果精确到分） 解析：甲所得本息之和为104·（1＋2.88%·0.8×5），乙所得本息之和为104·（1＋2.25%·0.8）5，差为219.01元.答案：219.01
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