2021-2022学年人教版八年级数学上册期末复习综合训练（word版 含答案）

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2021-2022学年人教版八年级数学上册期末复习综合训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB＝2021，AC＝2018，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　）
A． B．
C． D．
3．如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的最大周长为（　　）
A．20 B．22 C．23 D．24
4．如图，将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α＝（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
5．如图，若点O是△ABC内一点且∠BOC＝140°，∠1＝20°，∠2＝40°，则∠A的大小为（　　）

A．80° B．100° C．120° D．无法确定
6．如图，七边形ABCDEFG中，EF，BA的延长线相交于点P，若∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF的外角的度数和为230°，则∠P的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
7．已知一个多边形的内角和与外角和的和为1980°，这个多边形的边数为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．如图A、F、C、D在一条直线上，△ABC≌△DEF，∠B和∠E是对应角，BC和EF是对应边，AF＝1，FD＝3．则线段FC的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
9．如图，在三角形ABC中，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP．其中结论正确的是（　　）

A．①②③ B．①② C．① D．①③
10．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论：①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝30°；④AM＝AN．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3cm，则PD的长为（　　）

A．大于等于3cm B．大于3cm
C．小于等于3cm D．小于3cm
12．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，OD⊥BC，已知△ABC的面积为34，OD＝4，AB＝7，BC＝6，则AC＝（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
13．已知点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n的值为（　　）
A．﹣8 B．0 C．﹣6 D．﹣14
14．已知P（﹣3，a），Q（b，2）是关于x轴的对称点，则a，b的值为（　　）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝3 C．a＝﹣2，b＝﹣3 D．a＝2，b＝﹣3
15．如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则∠1+∠2+∠3的度数为（　　）

A．90° B．120° C．180° D．无法确定
16．已知：，则的值是（　　）
A． B． C．5 D．﹣5
17．记x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1＝2128，则n＝（　　）
A．128 B．32 C．64 D．16

18．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）

A．30° B．20° C．25° D．15°
19．如图，AB＝16，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝6，P在线段AB上，Q在射线BD上，若△CAP与△PQB全等，则AP＝　 　．

20．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是A（﹣6，0），B（0，4），△OA'B'≌△OAB，若点A'在x轴上，则点B'的坐标是 　 　．

21．如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 　 　．

22．如图，已知四边形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 　 　cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等．



23．如图，在直线l上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝　 　．

24．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 　 　．（填序号）
①CP平分∠ACF；
②∠ABC+2∠APC＝180°；
③∠ACB＝2∠APB；
④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．

25．在平面直角坐标系中，点A（﹣5，4）到y轴的距离是 　 　，点A关于x轴的对称点A′的坐标为 　 　．
26．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为 　 　．
27．如图，点P为∠MON内一点，点A、B分别是边OM和ON上的动点，且A、P、B不共线，若∠MON＝30°，OP＝8cm，则△PAB周长的最小值是 　 　．

28．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 　 　．


29．如图，AH是正三角形ABC中BC边上的高，在点A，C处各有一只电子乌龟P和Q同时起步以相同的速度分别沿AH，CA向前匀速爬动．确定当两只电子乌龟到B点距离之和PB+QB最小时，∠PBQ的度数为 　 　．

30．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD＝α（α＜180°），点M、N分别在BC、CD上，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为 　 　（用含α的代数式表示）．

31．等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则它的腰长、底边长分别为 　 　．
32．如图，在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C，连接A2C．完成下列问题：
（1）∠A1A2C的度数等于　 　度；
（2）如果继续在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D，连接A3D，…，依此进行下去，那么以An为顶点的锐角的度数等于　 　度．

33．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠BOA＝120°，求∠DAE和∠C的度数．


34．在△ABC中，∠A＝70°．
（1）如图1，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，则∠BOC＝　 　°；
（2）如图2，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O'，则∠BO'C＝　 　°；
（3）探究如图3，△ABC的内角∠ABC的平分线与其外角∠ACD的平分线相交于点O，设∠A＝n°，则∠BOC的度数是 　 　．（用n的代数式表示）


35．（1）已知：如图①，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，直接写出∠P与∠A的数量关系为 　 　．
（2）已知：如图②，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系．



36．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED＝105°，∠CAD＝15°，∠B＝50°，求∠DGF的度数．


37．如图，∠ABC＝90°，FA⊥AB于点A，D是线段AB上的点，AD＝BC，AF＝BD．
（1）判断DF与DC的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　．
（2）如图2，若点D在线段AB的延长线上，点F在点A的左侧，其他条件不变，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．


38．如图，AD是△ABC的中线，分别过点C、B作AD及其延长线的垂线，垂足分别为F、E．
（1）求证：△CFD≌△BED；
（2）若△ACF的面积为8，△CFD的面积为6，求△ABE的面积．


39．如图，CE＝DE，AE＝BE，∠1＝∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝42°，求∠3的度数．


40．如图①，AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN．
（1）求∠AEB的度数；
（2）如图②，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D．求证：AC+BD＝AB．

41．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝24cm，BC＝18cm，∠B＝∠C，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动，设运动时间为t（s）．（1）若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请说明理由．
（2）若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间△BPD与△CQP全等？请求出此时两点的速度．
（3）若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿△ABC三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在△ABC的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．

42．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且AE＝AD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：∠5＝∠4；
（2）若∠3＝20°，∠4＝15°，求∠AED的度数．




43．如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．若AM＝GM，∠AGM＝∠MAG．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）如图2，AD为△ABC中线，BM交AD于G，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．

44．如图，点C，A，O，B四点在同一条直线上，点D在线段OE上，且OA＝OD，AC＝DE，连接CD，AE．
（1）求证AE＝CD；
（2）写出∠1，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．

45．如图所示，点M是线段AB上一点，ED是过点M的一条直线，连接AE、BD，过点B作BF∥AE交ED于F，且EM＝FM．
（1）若AE＝5，求BF的长；
（2）若∠AEC＝90°，∠DBF＝∠CAE，求证：CD＝FE．

46．已知A（﹣10，0），以OA为边在第二象限作等边△AOB．
（1）求点B的横坐标；
（2）如下图，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO＝45°时，求∠MEO的度数．

47．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝∠D＝60°，AE平分∠BAC，若BD＝9cm，DE＝2cm，求BC的长．

48．在等边△ABC中，D为AC的中点，延长BC至点E，使CE＝DC，连接ED并延长交AB于点F．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）DF与DE有怎样的数量关系？请说明理由．

49．如图△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．
求证：E为AB的中点．

50．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在边BC上时．
①求证：△ABD≌△ACE；
②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．

51．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）求证：DA平分∠CDE；
（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？

52．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．


53．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝　 　°，∠AED＝　 　°；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．

54．先化简，再求值：已知，其中x满足x2+2x﹣2024＝0．
55．先化简（﹣），再从﹣1，0，1，2四个数中选一个你认为适合的数代入求值．
56．某药店在防治新型冠状病毒期间，购进甲、乙两种医疗防护口罩，已知每件甲种口罩的价格比每件乙种口罩的价格贵8元，用1200元购买甲种口罩的件数恰好与用1000元购买乙种口罩的件数相同．
（1）求甲、乙两种口罩每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种口罩共80件，且投入的经费不超过3600元，那么，最多可购买多少件甲种口罩？
57．分解因式：
①8m2n+2mn；
②2a2﹣4a+2；
③3m（2x﹣y）2﹣3mn2；
④x4﹣2x2+1．
58．计算：
（1）已知10m＝2，10n＝3，求103m+2n的值；
（2）已知（x+y）2＝16，（x﹣y）2＝4，求xy的值．
59．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA＝90°，α＝90°，则BE　 　CF；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于α与∠BCA关系的条件 　 　，使①中的结论仍然成立，并说明理由；
（2）如图3，若线CD经过∠BCA的外部，α＝∠BCA，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由．

60．如图，已知 l1∥l2，射线MN分别和直线l1，l2交于A、B，射线ME分别和直线l1，l2交于C、D，点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合），设∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ．
（1）试探索 α，β，γ之间有何数量关系？说明理由．
（2）如果BD＝3，AB＝9，AC＝6，并且AC垂直于MN，那么点P运动到什么位置时，△ACP≌△BPD说明理由．
（3）在（2）的条件下，当△ACP≌△BPD时，PC与PD之间有何位置关系，说明理由．


参考答案
1．解：∵AD为中线，
∴DB＝DC，
∴△ABD与△ACD的周长之差为：
（AB+AD+BD）﹣（AD+DC+AC）＝AB+AD+BD﹣AD﹣DC﹣AC＝AB﹣AC＝2021﹣2018＝3，
故选：C．
2．解：如图，在△ABC中，BC边上的高为线段AD，
故选：B．

3．解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．
由于第三边的长为偶数，
则a可以为4或6或8或10．
∴这个三角形的最大周长为5+7+10＝22．
故选：B．
4．解：如图所示：

∵∠3＝30°，∠4＝45°，
∴∠2＝∠4﹣∠3＝45°﹣30°＝15°，
∴∠1＝∠2＝15°，
∴∠5＝90°﹣∠1＝90°﹣15°＝75°，
∴∠α＝∠5＝75°，
故选：C．
5．解：延长BO交AC于D，
∵∠BOC是△ODC的外角，
∴∠BOC＝∠ODC+∠2，
∴∠ODC＝∠BOC﹣∠2＝140°﹣40°＝100°，
∴∠A＝∠ODC﹣∠1＝100°﹣20°＝80°，
故选：A．

6．解：如图．

由题意得：∠1+∠2+∠3+∠4＝230°．
∴∠5+∠6+∠7＝360°﹣230°＝130°．
∵∠8＝∠6+∠7，
∴∠5+∠8＝130°．
∴∠P＝180°﹣（∠5+∠8）＝180°﹣130°＝50°．
故选：C．
7．解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
（n﹣2）•180°+360°＝1980°，
n﹣2＝9，
n＝11．
故选：C．
8．解：∵△ABC≌△DEF，FD＝3，
∴AC＝FD＝3，
∵AF＝1，
∴FC＝AC﹣AF＝3﹣1＝2，
故选：C．
9．解：∵PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴点P在∠A的平分线上；AQ＝PQ，
①正确，∵点P在∠A的平分线上，
∴△ARP≌△ASP（AAS）．
∴AS＝AR．
②正确，∵点P在∠A的平分线上；
∴∠2＝∠3．
又∵AQ＝PQ，
∴∠1＝∠2．
∴∠1＝∠3．
∴QP∥AR．
③错误，∵△ABC不一定为等边三角形，
不能得出∠B＝∠C．
又∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，
∴∠BRP＝∠CSP．
不能得出△BRP≌△QSP．
故选：B．

10．解：∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACP＝∠NCP，
在△ACP和△MCP中，
，
∴△ACP≌△MCP（ASA），
∴AP＝MP，①结论正确；
∵△ACP≌△MCP，
∴CM＝AC＝5，
同理可得：BN＝AB＝6，
∴BC＝BN+CM﹣MN＝5+6﹣2＝9，②结论正确；
∵∠BAC＝110°，
∴∠MAC+∠BAN﹣∠MAN＝110°，
由①知：∠CMA＝∠CAM，∠BNA＝∠BAN，
在△AMN中，∠CMA+∠BNA＝180°﹣∠MAN＝∠BAN+∠MAC，
∴180°﹣∠MAN﹣∠MAN＝110°，
∴∠MAN＝35°，③结论错误；
④当∠AMN＝∠ANM时，AM＝AN，
∵AB＝6≠AC＝5
∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④结论错误；
故选：C．
11．解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC＝3cm，
∵点D是OB上的动点，
∴PD的最小值为3cm．
故选：A．

12．解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD＝4，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BCO+S△ACO，
∴AB•OE+BC•OD+AC•OF＝34，
∴×4（7+6+AC）＝34，
∴AC＝4．
故选：B．

13．解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2＝4，n+5＝3，
解得m＝2，n＝﹣2，
∴m+n＝2﹣2＝0．
故选：B．
14．解：∵P（﹣3，a），Q（b，2）是关于x轴的对称点，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
故选：C．
15．解：∵图中是三个等边三角形，
∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，
∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°，
故选：C．

16．解：∵，
∴b﹣a＝﹣ab，
∴＝﹣＝﹣5；
故选：D．
17．解：∵x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）
＝（2﹣1）（2+1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）
＝（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n）
＝…
＝22n﹣1，
又∵x+1＝2128，
∴22n﹣1+1＝2128，
∴n＝64，
故选：C．
18．解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
19．解：∵△CAP与△PQB全等，
∴AC＝BQ，AP＝PB或AC＝PB，AP＝BQ．
当AC＝BQ，AP＝PB时，则AP＝＝8．
当AC＝PB，AP＝BQ时，则BP＝6．
∴AP＝AB﹣BP＝16﹣6＝10．
综上：AP＝8或10．
故答案为：8或10．
20．解：∵A（﹣6，0），B（0，4），△OA′B′≌△AOB，
∴OA＝OA′＝6，OB＝A′B′＝4，
∴点B′的坐标是（6，﹣4），
故答案为：（6，﹣4）．
21．解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝25°，
∴∠D＝∠B＝25°，
∵∠E＝98°，
∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝57°，
∵∠EAB＝20°，
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝20°+57°＝77°，
故答案为：77°．
22．解：设点P在线段BC上运动的时间为t，
①点P由B向C运动时，BP＝3t，CP＝8﹣3t，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝8﹣3t，
解得t＝1，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷1＝3cm/s；
②点P由B向C运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP，
∴3t＝8﹣3t，
t＝，
此时，点Q的运动速度为：5÷＝cm/s；
③点P由C向B运动时，CP＝3t﹣8，
∵△BPE≌△CQP，
∴BE＝CP＝5，
∴5＝3t﹣8，
解得t＝，
∴BP＝CQ＝3，
此时，点Q的运动速度为3÷＝cm/s；
④点P由C向B运动时，
∵△BPE≌△CPQ，
∴BP＝CP＝4，
3t﹣8＝4，
t＝4，
∵BE＝CQ＝5，
此时，点Q的运动速度为5÷4＝cm/s；
综上所述：点Q的运动速度为cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；
故答案为：或3或或．
23．解：∵∠LKH＝∠FGH＝∠LHF＝90°，
∴∠LHK+∠HLK＝90°＝∠LHK+∠FHG，
∴∠KLH＝∠FHG，
在△LKH和△HFG中，
，
∴△LKH≌△HFG（AAS），
∴LK＝HG，KH＝FG，
∵LH2＝KL2+KH2，
∴4＝S1+S2，
同理可得S3+S4＝8，
∴S1+S2+S3+S4＝12，
故答案为12．
24．解：①过点P作PD⊥AC于D，

∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故答案为：①②③④．
25．解：根据坐标的定义可知，
点A（﹣5，4）到y轴的距离是|﹣5|＝5，
由关于x轴的对称点坐标之间的关系可得，
点A关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣5，﹣4），
故答案为：5，（﹣5，﹣4）．
26．解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为50，则顶角是40°，因而底角是70°；
如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD＝40°，BD⊥CD，
故∠BAD＝40°，
所以∠B＝∠C＝20°，
因此这个等腰三角形的一个底角的度数为20°或70°．
故答案为：20°或70°．

27．解：分别作点P关于OM，ON的对称点P′，P″；连接P′，P″，分别交OM，ON于点A、点B，连接OP，OP′，OP″，
由轴对称的性质得：OP＝OP′＝OP″＝8，
∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∵∠MON＝30°，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝60°，且PO＝P′O＝P″O，
∴△P′OP″是等边三角形，∴P′P″＝OP＝8，
∴△PAB周长最小值是8．
故答案为8．

28．解：作P点关于AB的对称点E，作P点关于AC的对称点F，连接EF，AP，EM，NF，
∵AB＝8，AC＝6，BC＝10，
∵∠BAC＝90°，
由对称可得，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝180°，
∴E、A、F共线，
∴EM＝MP，PN＝NF，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，
∴EF最小时，PM+MN+PN的值最小，
∵AE＝AP＝AF，
∴2AP＝EF，
当PA⊥BC时，PA的值最小，
∴PA＝，
∴PM+PN+MN的最小值是，
故答案为：．

29．解：过点C作CD⊥BC，取CD＝AB，连接BD，

∵△ABC是等边三角形，AH是BC边上的高，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∠BAH＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠BAH＝∠ACD，
在△ABP和△CDQ中，
，
∴△ABP≌△CDQ（SAS），
∴BP＝DQ，∠CQD＝∠APB，
∴当B、Q、D共线时，PB+QB最小，连接BD交AC于Q，
∴∠APB＝∠AQB，
∴∠PBQ＝∠QAH＝30°，
故答案为：30°．
30．解：作点A关于BC的对称点A'，点A关于CD的对称点B'，连接B'N，A'M，
则AM＝A'M，AN＝B'N，
∴C△AMN＝AM+MN+AN＝A'M+MN+B'N，
∴当A'、M、N、B'共线时，C△AMN最小，

∵∠BAD＝α，
∴∠A'+∠B'＝180°﹣α，
∵AM＝A'M，AN＝B'N，
∴∠MAB＝∠A'，∠NAD＝∠B'，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠MAB+∠NAD）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°，
故答案为：2α﹣180°．
31．解：设等腰三角形的腰长为2x，
由题意得2x+x＝9或2x+x＝12，
解得x＝3或4，
∴等腰三角形的腰长为6或8，
∵等腰三角形的周长为9+12＝21，
∴该等腰三角形的底边长为：21﹣2×6＝9或21﹣2×8＝5，
∵6+6＝12＞9，5+8＞8，
∴等腰三角形的腰长，底边长分别为：6，9或8，5．
故答案为6，9或8，5．
32．解：（1）在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，
∴∠BA1A＝＝＝76°，
∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠A1A2C＝∠BA1A＝×76°＝38°；
（2）同理可得，∠DA3A2＝19°，∠EA4A3＝9.5°，
∴以An为顶点的锐角的度数等于度．
故答案为：38，．
33．解：∵∠CAB＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE＝25°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠ABO＝180°﹣120°﹣25°＝35°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABO＝70°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝30°﹣25°＝5°．
34．解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°．
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝，∠OCB＝．
∴∠OBC+∠OCB＝＝＝55°．
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°．
故答案为：125°．
（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+70°＝250°．
∵BO′平分∠DBC，CO′平分∠BCE，
∴∠O′BC＝，∠O′CB＝．
∴∠O′BC+∠O′CB＝＝＝125°．
∠BO′C＝180°﹣（∠O′BC+∠O′CB）＝180°﹣125°＝55°．
故答案为：55°．
（3）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACE＝2∠OCE．
∵∠A＝∠ACE﹣∠ABC，
∴∠A＝2∠OCE﹣2∠OBC＝2（∠OCE﹣∠OBC）＝2∠BOC．
∴∠BOC＝＝．
故答案为：．
35．解：（1）如图①，∠P＝90°+∠A，理由如下：
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC，∠ACP＝∠DCP＝∠ACD，
在△PDC中，由三角形内角和定理得，
∠P＝180°﹣∠CDP﹣∠DCP
＝180°﹣（∠ADC+∠ACD）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A，
故答案为：∠P＝90°+∠A；
（2）如图②，∠P＝（∠A+∠B），理由如下：
∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC，∠BCP＝∠DCP＝∠BCD，
在△PDC中，由三角形内角和定理得，
∠P＝180°﹣∠CDP﹣∠DCP
＝180°﹣（∠ADC+∠BCD），
而∠ADC+∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠B，
∴∠P＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
＝（∠A+∠B）．
36．解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝105°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝∠AED＝105°，∠D＝∠B＝50°，
∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝75°，
∵∠CAD＝15°，
∴∠AFC＝180°﹣∠CAF﹣∠ACF＝90°，
∴∠DGF＝∠AFC﹣∠D＝90°﹣50°＝40°．
37．解：（1）DF＝CD，CD⊥DF，理由如下：
∵FA⊥AB，
∴∠DAF＝90°＝∠CBD，
在△ADF和△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
∴∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC；
（2）成立，理由如下：
∵FA⊥AB，
∴∠DAF＝90°，
在△ADF和△BCD中，
，
∴△ADF≌△BCD（SAS），
∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB＝90°，
∴∠ADF+∠CDB＝90°，
即∠CDF＝90°，
∴DF⊥DC．
38．（1）证明：∵CF⊥AE，BE⊥AD，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△CFD和△BED中，
，
∴△CFD≌△BED（AAS）；
（2）解：∵S△ACF＝8，S△CFD＝6，
∴S△ACD＝S△ACF+S△CFD＝14，
∵BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACD＝14，
由（1）得：△CFD≌△BED，
∴S△CFD＝S△BED＝6，
∴S△ABE＝S△ABD+S△BED＝14+6＝20．
39．（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠AED＝∠2+∠AED，
即∠AEC＝∠BED，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（SAS）；
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴∠C＝∠BDE，
∵∠3+∠BDE＝∠1+∠C，
∴∠3＝∠1＝42°．
40．解：（1）∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN＝180°，
∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴∠BAE＝∠BAM，∠ABE＝∠ABN，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAM+∠ABN）＝90°，
∴∠AEB＝90°；
（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，

在△ACE与△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴∠AEC＝∠AEF，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEF+∠BEF＝∠AEC+∠BED＝90°，
∴∠FEB＝∠DEB，
在△BFE与△BDE中，
，
∴△BFE≌△BDE（ASA），
∴BF＝BD，
∵AB＝AF+BF，
∴AC+BD＝AB．
41．解：（1）∵点P与点Q的速度都是3cm/s，
∴BP＝CQ＝3t，
∵∠B＝∠C，AB＝AC＝24cm，BC＝18cm，
∴要使△BPD与△CQP全等，则需BD＝CP，
即18﹣3t＝12，
∴t＝2s，
即经过2s的时间△BPD与△CQP全等；
（2）设点P的速度是xcm/s，则点Q的速度是（x+3）cm/s，
∴BP＝xt，CQ＝（x+3）t，
∴BP≠CQ，
∵∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，则需BD＝CQ，BP＝CP，
∴，
解得：，
∴经过1s，点P的速度是9cm/s，则点Q的速度是12cm/s时，△BPD与△CQP全等；
（3）设经过t（s）点P与点Q第一次相遇，
则12t﹣9t＝48，
∴t＝16（s），
∴P的路程＝9×16＝144（cm），
∵192＝（24+24+18）×2+12，
∴经过16s点P与点Q第一次相遇，在BC边上相遇，相遇点到点B的距离为12cm．
42．（1）证明：∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠1＝∠3，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠5＝∠4；
（2）解：由（1）知，∠1＝∠3，∠5＝∠4，
∴∠1＝20°，∠5＝15°，
∴∠AED＝∠1+∠5＝20°+15°＝35°．
43．（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）．
（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，

∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△FDB中，
，
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，
∵AM＝GM，
∴∠CAD＝∠AGM，
∵∠AGM＝∠BGF，
∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，
∴BG＝BF＝AC，
即BG＝AC．
44．（1）证明：∵OA＝OD，AC＝DE，
∴OC＝OE，
在△AOE和△DOC中，
，
∴△AOE≌△DOC（SAS），
∴AE＝CD；
（2）解：∠2＝∠1+∠C，理由：
∵△AOE≌△DOC，
∴∠C＝∠E，
∵∠2＝∠1+∠E，
∴∠2＝∠1+∠C．
45．（1）解：∵BF∥AE，
∴∠EAM＝∠FBM，∠E＝∠BFM，
在△AEM和△BFM中，
，
∴△AEM≌△BFM（AAS），
∴AE＝BF，
∵AE＝5，
∴BF＝5；
（2）证明：∵BF∥AE，
∴∠AEC＝∠BFM，
∵∠AEC＝90°，
∴∠BFM＝90°，
∴∠BFD＝180°﹣90°＝90°，
∴∠AEC＝∠BFD，
由（1）知AE＝BF，
在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（ASA），
∴CE＝DF，
∴DF﹣CF＝CE﹣CF，
即CD＝FE．
46．解：（1）如图，过B作BD⊥OA于点D，

∵△AOB为等边三角形，点A（﹣10，0），
∴OA＝OB＝AB＝10，∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°，
∵BD⊥OA，
∴AD＝OD＝OA＝×10＝5，
∴点B的横坐标为﹣5；
（2）如图2，过点M作MF∥AB交OA于点F，

∵MF∥AB，
∴∠MFO＝∠BAO＝∠AOB＝60°，
∴△MOF为等边三角形，
∴∠FMO＝60°，MF＝MO，
∵△MNE是等边三角形，
∴∠NME＝60°，MN＝ME，
∴∠FMN+∠NMO＝∠NMO+∠OME＝60°，
∴∠FMN＝∠OME，
在△MFN和△MOE中，
，
∴△MFN≌△MOE（SAS），
∴∠MFN＝∠MOE＝60°，
∵∠EMO＝45°，
∴∠MEO＝180°﹣∠MOE﹣∠EMO
＝180°﹣60°﹣45°
＝75°．
47．解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠DBC＝∠D＝60°，
∴△BDM为等边三角形，
∴BD＝DM＝BM＝9cm，
∵DE＝2cm，
∴EM＝7cm，
∵△BDM为等边三角形，
∴∠DMB＝60°，
∵AN⊥BC，
∴∠ENM＝90°，
∴∠NEM＝30°，
∴NM＝3.5cm，
∴BN＝5.5 cm，
∴BC＝2BN＝11（cm）．

48．（1）证明：连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝30°，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）解：DE＝2DF．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD＝∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．

49．证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EAD+∠ABD＝90°，∠ADE+∠BDE＝∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BDE，
∴DE＝BE，
∴E为AB的中点．
50．解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE．
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CE+CD．

（2）BC+CD＝CE．
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝CE．
∵BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
51．证明：（1）∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，
又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB＝∠BAC+∠ACD+∠AFC＝180°，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N．
则∠AMC＝∠ANB＝90°．
∵OB＝OC，OA⊥BC，
∴AB＝AC，
∵∠ABD＝∠ACD，
∴△ACM≌△ABN （AAS）
∴AM＝AN．
∴DA平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（3）∠BAC的度数不变化．
在CD上截取CP＝BD，连接AP．
∵CD＝AD+BD，
∴AD＝PD．
∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP．
∴AD＝AP；∠BAD＝∠CAP．
∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等边三角形，
∴∠DAP＝60°．
∴∠BAC＝∠BAP+∠CAP＝∠BAP+∠BAD＝60°．

52．证明：（1）延长BD交CE于F，

在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；
（2）延长BD交CE于F，

∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．
53．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°，
故答案为：25；65；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB＝2，DC＝2，
∴AB＝DC，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝40°+40°＝80°；
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
54．解：原式＝•
＝•
＝（x+3）（x﹣1）
＝x2+2x﹣3，
当x2+2x﹣2024＝0，即x2+2x＝2024时，原式＝2024﹣3＝2021．
55．解：原式＝[﹣]÷
＝（﹣）•
＝•
＝，
∵x≠±1且x≠0，
∴x＝2，
则原式＝＝3．
56．解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为（x+8）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40原方程的解，
∴x+8＝48．
答：每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元．
（2）设购买y件甲种商品，则购买（80﹣y）件乙种商品，
根据题意得：48y+40（80﹣y）≤3600，
解得：y≤50．
答：最多可购买50件甲种商品．
57．解：①原式＝2mn（4m+1）；
②原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2；
③原式＝3m[（2x﹣y）2﹣n2]
＝3m（2x﹣y+n）（2x﹣y﹣n）；
④原式＝（x2﹣1）2
＝（x+1）2（x﹣1）2．
58．解：（1）103m+2n
＝103m⋅102n
＝（10m）3⋅（10n）2
＝23×32
＝8×9
＝72；
（2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝16①，
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4②，
∴①﹣②得，4xy＝12，
∴xy＝3．
59．解：（1）∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，
∴∠BCE+∠CBE＝180°﹣∠BEC＝90°．
又∵∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF．
在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（2）α+∠BCA＝180°，理由如下：
∵∠BEC＝∠CFA＝α，
∴∠BEF＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
又∵∠BEF＝∠EBC+∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣α．
又∵α+∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°﹣α．
∴∠BCA＝∠BCE+∠ACF＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF（AAS）．
∴BE＝CF．
（3）EF＝BE+AF，理由如下：
∵∠BCA＝α，
∴∠BCE+∠ACF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣α．
又∵∠BEC＝α，
∴∠EBC+∠BCE＝180°﹣∠BEC＝180°﹣α．
∴∠EBC＝∠FCA．
在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA（AAS）．
∴BE＝CF，EC＝FA．
∴EF＝EC+CF＝FA+BE，即EF＝BE+AF．
60．解：（1）∠γ＝α+∠β，
理由：过点P作PF∥l1（如图1），
∵l1∥l2，
∴PF∥l2，
∴∠α＝∠DPF，∠β＝∠CPF，
∴∠γ＝∠DPF+∠CPF＝α+∠β；
（2）当AP＝BD＝3，△ACP≌△BPD，
∵l1∥l2，AC垂直于MN，
∴BD⊥MN，
∴∠CAP＝∠PBD＝90°，
∵AB＝9，
∴PB＝6，
∴AC＝PB，
在△CAP与△PBD中，，
∴△ACP≌△BPD，
∴当AP＝3时，△ACP≌△BPD；
（3）CP⊥PD，
理由：∵△ACP≌△BPD，
∴∠ACP＝∠DPB，
∵∠ACP+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠DPB＝90°，
∴∠CPD＝90°，
∴CP⊥PD．