高一数学北师大版选修2-2第二章 阶段质量检测教案

(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝，则f′＝(　　)A．－　　　　　　　　　 B．－C．－8       D．－16解析：∵f′(x)＝(x－2)′＝－2x－3，∴f′＝－2×－3＝－16.答案：D2．曲线y＝x2－2x在点处的切线的倾斜角为(　　)A．－135°       B．45°C．－45°       D．135°解析：y′＝x－2，所以斜率k＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.答案：D3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是(　　)A．在点x＝x0处的函数值B．在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率答案：C4．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)＝(　　)A．sin x       B．cos xC．cos α＋sin x      D．2sin α＋cos x解析：函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．答案：A5．下列求导运算正确的是(　　)A.′＝1＋     B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3xlog3e     D．(x2cos x)′＝－2xsin x解析：′＝1－，所以A不正确；(3x)′＝3xln 3，所以C不正确；(x2cos x)′＝2xcos x＋x2·(－sin x)，所以D不正确；(log2x)′＝，所以B正确．答案：B6．(2011·重庆高考)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)A．y＝3x－1      B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5      D．y＝2x解析：依题意得，y′＝－3x2＋6x，y′|x＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3，故所求直线的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1.答案：A7．若f(x)＝log3(2x－1)，则f′(3)＝(　　)A.        B．2ln 3C.       D.解析：∵f′(x)＝，∴f′(3)＝.答案：D8．若函数f(x)满足f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为(　　)A．0        B． 2C．1        D．－1解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x－1，所以f′(1)＝1－2f′(1)－1，则f′(1)＝0.答案：A9．函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，那么x0＝(　　)A．a        B．±aC．－a       D．a2解析：因为y′＝＝＝，所以x－a2＝0，解得x0＝±a.答案：B10．(2011·江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)>0的解集为(　　)A．(0，＋∞)      B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)      D．(－1,0)解析：令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，又x＞0，所以x＞2.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)11．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.解析：∵f(x)＝log3(x－1)，∴f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，∴f′(2)＝.答案：12．已知0<x<，f(x)＝x2，g(x)＝，则f′(x)与g′(x)的大小关系是____________．解析：由题意，得f′(x)＝2x，g′(x)＝.由0<x<，知0<f′(x)<， g′(x)>1，故f′(x)<g′(x)．答案：f′(x)<g′(x)13．已知物体的运动方程是s(t)＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则物体在时刻t＝4秒时的速度v＝________米/秒，加速度a＝________米/秒2.解析：∵s′(t)＝2t－，∴v(4)＝s′(4)＝2×4－＝，∵v(t)＝2t－，∴v′(t)＝2＋，∴a(4)＝v′(4)＝2＋＝.答案：　14．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析：设切点坐标为(x0，ex0)，y′＝ex，则切线斜率为ex0，切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，代入原点坐标(0,0)⇒x0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e.答案：(1，e)　e三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求下列函数的导数：(1)y＝sin x＋；(2)y＝(x2＋2)(3x－1)；(3)y＝x·e－x；(4)y＝sin 2x.解：(1)y′＝(sin x)′＋()′＝cos x－.(2)y′＝(x2＋2)′(3x－1)＋(x2＋2)(3x－1)′＝2x(3x－1)＋3(x2＋2)＝9x2－2x＋6.(3)y′＝x′·e－x＋x·(e－x)′＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x.(4)y′＝(sin 2x)′＝×2·cos 2x＝cos 2x.16．(本小题满分12分)已知曲线y＝x3＋3x2＋6x－10上一点P，求过曲线上P点的所有切线中，斜率最小的切线方程．解：y′＝3x2＋6x＋6＝3(x2＋2x＋2)＝3(x＋1)2＋3.∴当x＝－1时，斜率最小为3，此时P的纵坐标为y＝(－1)3＋3×(－1)2＋6×(－1)－10＝－14，∴切点坐标为(－1，－14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3xf′(a)(其中a∈R)，且f(a)＝，求：(1)f(x)的表达式；(2)曲线y＝f(x)在x＝a处的切线方程．解：(1)f′(x)＝x2＋3f′(a)，于是有f′(a)＝a2＋3f′(a)⇒f′(a)＝－，∴f(x)＝x3－x，又f(a)＝，即a3－a3＝⇒a＝－1，f(x)＝x3－x；(2)由(1)知切点为，切线的斜率f′(a)＝－，∴切线方程为y－＝－(x＋1)，即3x＋6y－4＝0.18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝，则f(2)＝.又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－.(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x得y＝x＝2x0从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.