高端精品高中数学一轮专题-余弦定理（带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-余弦定理（带答案）教案，共7页。教案主要包含了小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
二．余弦定理及其推论的应用
1.利用余弦定理的变形判定角
在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
【小试牛刀】
(1)√ (2)× (3)√ (4) × (5)√
【经典例题】
题型一 已知两边及一角解三角形
点拨：必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝2eq \r(3)，A＝30°，求a.
解 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccsA＝32＋(2eq \r(3))2－2×3×2eq \r(3)cs30°＝3，所以a＝eq \r(3).
【跟踪训练】1 在△ABC中，a＝2eq \r(3)，c＝eq \r(6)＋eq \r(2)，B＝45°，解这个三角形.
解 根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accs B＝(2eq \r(3))2＋(eq \r(6)＋eq \r(2))2－2×2eq \r(3)×(eq \r(6)＋eq \r(2))×cs 45°＝8，∴b＝2eq \r(2).
又∵cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
【跟踪训练】2 一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－eq \f(3,5)，则三角形的另一边长为( )
A．52
B．2eq \r(13)
C．16
D．4
答案 B
解析 设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×(－eq \f(3,5))＝52，∴x＝2eq \r(13).
【跟踪训练】3 在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于( )
A．4eq \r(3)
B.eq \r(7)
C．7
D．5
答案 C
解析 b2＝a2＋c2－2accs B
＝32＋52－2×3×5×cs 120°
＝49，
∴b＝7.
题型二 已知三边(三边关系)解三角形
例2 已知△ABC中，a：b：c＝2：eq \r(6)：(eq \r(3)＋1)，求△ABC的各内角度数．
例2 解 ∵a：b：c＝2：eq \r(6)：(eq \r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq \r(6)k，c＝(eq \r(3)＋1)k(k>0)．
由余弦定理的推论得：csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝＝eq \f(\r(2),2)，
∴A＝45°，csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2)，
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
【跟踪训练】1 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，则角B的大小是( )
A．45° B．60°
C．90° D．135°
【跟踪训练】2
答案A
解析：由已知得a2＋c2－b2＝eq \r(2)ac，所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(2)ac,2ac)＝eq \f(\r(2),2).又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
【跟踪训练】2 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
答案 B
解析 设中间角为θ，则θ为锐角，
csθ＝eq \f(52＋82－72,2×5×8)＝eq \f(1,2)，
θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．
【跟踪训练】3 △ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．19 B．14 C．－18 D．－19
答案 D
解析 设三角形的三边分别为a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|·cs(π－B)
＝－ac·cs B.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cs B，
∴－ac·cs B＝eq \f(1,2)(b2－a2－c2)
＝eq \f(1,2)(62－52－72)＝－19，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－19.
题型三 判断三角形的形状
例3 在△ABC中，若a＝2bcsC，则△ABC的形状为________．
例3
答案 等腰三角形
解析：∵a＝2bcs C＝2b·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－c2,a)，
∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，
∴△ABC为等腰三角形．
【跟踪训练】1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA＝eq \f(1,3)，b＝3c，试判断△ABC的形状．
【跟踪训练】3 解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccsA.
又因为csA＝eq \f(1,3)，b＝3c，所以a2＝b2＋c2－2×3c×c×eq \f(1,3)＝b2－c2.
所以a2＋c2＝b2，所以B＝eq \f(π,2)，所以△ABC是直角三角形．
【跟踪训练】2在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
解 因为a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，
所以可令a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．
c最大，cs C＝eq \f(2k2＋4k2－5k2,2×2k×4k)a，eq \r(a2＋ab＋b2)>b，
设最大角为θ，
则csθ＝eq \f(a2＋b2－\r(a2＋ab＋b2)2,2ab)＝－eq \f(1,2)，
又∵θ∈(0°，180°)，
∴θ＝120°.
【跟踪训练】1在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．
答案 7
解析 由条件知
cs A＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2×AB×AC)＝eq \f(92＋82－72,2×9×8)＝eq \f(2,3)，
设中线长为x，由余弦定理，知
x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(AC,2)))2＋AB2－2×eq \f(AC,2)×ABcs A
＝42＋92－2×4×9×eq \f(2,3)＝49，
所以x＝7.所以AC边上的中线长为7.
【当堂达标】
1.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6)
C.eq \f(2π,3) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
2.在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq \r(3)b＝12，则c的值为( )
A．4 B．8
C．4或8 D．无解
3.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于( )
A．90° B．60°
C．120° D．150°
4.在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝eq \f(π,6)，c＝2eq \r(3)，则b＝ .
5.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝eq \r(3)a，则cs A＝________.
6.在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断△ABC的形状．
【当堂达标】
1.C
2.C 解析：由3a＝eq \r(3)b＝12，得a＝4，b＝4eq \r(3)，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccsA，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
3.B 因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).因为A∈(0°，180°)，所以A＝60°.
4.2 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accsB＝4＋12－2×2×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝4，所以b＝2.
5. eq \f(1,3) 解析：由B＝C,2b＝eq \r(3)a，可得b＝c＝eq \f(\r(3),2)a，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\f(3,4)a2＋\f(3,4)a2－a2,2×\f(\r(3),2)a×\f(\r(3),2)a)＝eq \f(1,3).
6.解：由余弦定理知cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)，cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知条件得a·eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq \f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq \f(c2－a2－b2,2ab)＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
【课堂小结】
1．适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
2. 主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化，适用于解三角形．
文字语言
三角形中任何一边的 平方 ，等于其他两边 平方的和 减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍
符号语言
a2＝b2＋c2－2bccsA；b2＝ a2＋c2－2 accsB；c2＝ a2＋b2－2 abcsC
推论
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)；cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)．