高端精品高中数学一轮专题-数列的求和2（带答案）教案

数列的求和

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．设数列的前n项和，则数列的前n项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为，

所以，，

因此，

所以.

故选:D

2．已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（    ）.

A．25 B．26 C．13 D．

【答案】C

【解析】

，

，

即，

设，①

则，②

则①＋②得：，

故.

故选：C.

3．已知函数且，则等于（    ）

A．0 B．100 C．-100 D．10200

【答案】B

【解析】

由已知条件知，

即

是奇数）

故选：B．

4．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。若将此数列的各项除以2后的余数构成一个新数列，设数列的前项的和为；若数列满足：，设数列的前项的和为，则（    ）

A．1348 B．1347 C．674 D．673

【答案】B

【解析】

“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，

此数列被2除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0，，

即，，，，，，，

数列是以3为周期的周期数列，

，

由题意知，

由于，

所以，

所以．

则．

故选：B

5．定义表示不超过的最大整数，如，．若数列的通项公式为，为数列的前项和，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

，，

当时，，即（共1项）；

当时，，即（共2项）；

当时，，即（共4项）；

…

当时，，即（共项），

由，得．即，所以．

所以，

则，

两式相减得

，

．

故选：D．

6．已知数列的前项和为，且，现有如下说法：

①；②；③.

则正确的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】

因为，

所以，

所以，，

联立得：，

所以，

故，

从而，

，，

则，故，

，

，

故①②③正确.

故选：D

7．已知数列的前n项和为，，当时，，，则S2019的值为（    ）

A．1008 B．1009 C．1010 D．1011

【答案】C

【解析】

当时，，①

可得，②

由②－①得，，整理得，

又由

所以.

故选：C.

8．已知的前项和为，，当时，，则的值为（    ）

A．1008 B．1009 C．1010 D．1011

【答案】C

【解析】

由题意，当时，可得，

因为，所以，即，

当时，

两式相减，可得，即，

所以，

所以.

故选：C.

9．已知数列满足：，，用表示不超过的最大整数，则的值等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】

由，得，

∴，

，

，

由，得，，知从以后都大于1，

∴，

∴，

则，

故选：A.

10．若数列的通项公式为，在一个行列的数表中，第行第列的元素为，则满足的的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

数列的通项公式为，在一个行列的数表中，第行第列的元素为，

所以．

令，则，所以，数列为递增数列，

当时，

所有的元素之和为，

当时，，

当时，，

当时，，

故的最大值为，

故选：B．

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11．数列的通项公式为，其前2020项的和为______.

【答案】

【解析】

，∴，，

，，，

，，，

由上可知，数列的奇数项为-1，偶数项，，

.

故答案为：．

12．已知，集合，集合的所有非空子集的最小元素之和为，则使得的最小正整数n的值为______．

【答案】13

【解析】

当时，的所有非空子集为：，，，所以.

当时，.

当时，当最小值为时，每个元素都有或无两种情况，共有个元素，共有个非空子集，.

当最小值为时，不含，含，共有个元素，

有个非空子集，.

……

所以…….

因为，，即.

所以使得的最小正整数的值为.

故答案为：.

13．已知公比大于的等比数列满足，记为在区间中的项的个数，的前项和为，则 __________.

【答案】

【解析】

设的公比为，由

得或（舍去）

所以

在区间上，，

在区间上上，个1

在区间上，，个2

在区间上，，个3，

…

归纳得当时，

所以

令

则

两式相减，整理得

所以

故答案为：

14．已知是等差数列，是公比为c的等比数列，，则数列的前10项和为__________，数列的前10项和为__________（用c表示）．

【答案】100       

【解析】

因为是等差数列，，

所以，

解得，

所以，

所以

因为是公比为c的等比数列，且，

所以，

故，

当时，，

当时，，

综上,

故答案为：100；

15．已知数列的前项和为，满足，则数列的通项公式______.设，则数列的前项和______.

【答案】       

【解析】

因为，所以当 时，，

当时，，符合的情况，所以；

因为，

当为偶数时，，

所以，

当为奇数时，，所以，

综上可知.

故答案为：；.

16．已知数列的前项和为，且，，则______；若恒成立，则实数的取值范围为______.

【答案】       

【解析】

由，，得，，

所以数列是首项为1，公比为的等比数列，

所以，，

.

又，所以恒成立，

即，恒成立.

令，则，所以是递减数列，

所以，，即，

实数的取值范围为.

故答案为：；.

17．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，从第三项开始每一项都是数列中前两项之和.这个数列是斐波那契在他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的.在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？即斐波那契数列中，，, ，则______；若，则数列的前项和是_______（用表示）.

【答案】144       

【解析】

由，, ，依次可求出的值，利用用累加法可求出数列的前项和

【详解】

解：因为，, ，

所以，同理，

因为，, ，

所以

……

以上累加得，

，

所以，

故答案为：144；

三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）

18．已知数列是等差数列，前项和为，且.

（1）求；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意，数列是等差数列，所以，

又，所以，

由，解得，

所以，解得，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）得，

，

，

两式相减得，

，

所以.

19．设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列的前n项和为，，____.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n和.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】

选条件①时，

（1）时，整理得，

所以.

（2）由（1）得：，

设，其前项和为，

所以 ①，

②，

①②得：，

故，

所以.

选条件②时，

（1）由于，

所以①，当时，②，

①②得：，

，

整理得，

所以.

（2）由（1）得：，

设，其前项和为，

所以 ①，

②，

①②得：，

故，

所以.

选条件③时，

由于，    ①

②

①②时，，整理得（常数），

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.

所以.

（2）由（1）得：，

设，其前项和为，

所以①，

②，

①②得：，

故，

所以.

20．设数列的前项和为.已知，，.

（1）求通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1），；（2），，.

【解析】

（1）由题意得，则，又当时，

由，得，且，

所以数列是公比为3的等比数列，

所以，数列的通项公式为，.

（2）设，，，.

当时，由于，故，.

设数列的前项和为，则，.

当时，，

所以，，，.

21．已知数列的前项和为，且，，数列满足，.

（1）求数列、的通项公式；

（2）若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）本题首先可根据得出，然后两式相减，得出，

（1）因为，，所以，

则，即，，

因为，，

所以数列是以为首项、为公比的等比数列，，

因为，所以，即，

则

.

（2），

令，

则

，

因为对任意恒成立，

所以对任意恒成立，

即，

令，，

则，当时，即当时取到最小值，

故，实数的取值范围为.

22．已知各项都是正数的数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式.

（2）设数列满足：，，数列的前项和.求证：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）①当时，

得，

∴或0（舍去）；

②当时，，

∴

.

又∵各项为正，

∴，

∴为首项是，公差是的等差数列，

∴.

（2）由题得，

┇

，

所有式子相加，

得

.

又∵，∴，

∴，

∴

.

又∵，

∴.