高端精品高中数学一轮专题-余弦定理、正弦定理的应用 （带答案）教案

这是一份高端精品高中数学一轮专题-余弦定理、正弦定理的应用 （带答案）教案，共13页。教案主要包含了小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标等内容，欢迎下载使用。
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( )
(2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．( )
(3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．( )
2. 从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
【小试牛刀】
1. (1)× (2)× (3)×
2.B 解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，因为两直线平行内错角相等，所以α＝β.
【经典例题】
题型一 不能到达两点间的距离问题
例1 如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D(CD与河岸平行)之间的距离，选取岸边两点A，B(AB与河岸平行)，测得数据：AB＝6 m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，试求C，D之间的距离．

解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝150°.
因为AB∥CD，所以∠C＝180°－150°＝30°.
在△ABD中，AB＝6，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°，
所以AD＝eq \f(AB·sin∠ABD,sin∠ADB)＝eq \f(6×sin 60°,sin 45°)＝3eq \r(6)，
所以BD＝eq \f(AD·sin∠DAB,sin∠ABD)＝eq \f(3\r(6)×sin 75°,sin 60°)＝3＋3eq \r(3).
在Rt△DBC中，CD＝eq \f(BD,sin∠C)＝eq \f(3＋3\r(3),sin 30°)＝6＋6eq \r(3).所以C，D之间的距离为(6＋6eq \r(3))m.
【跟踪训练】1 如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a则可求出A，B两点间的距离．若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．
【答案】A，B两点间的距离为200eq \r(7) m.
【解析】在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cs 60°＝280 000.
∴AB＝200eq \r(7) (m)．
即A，B两点间的距离为200eq \r(7) m.
【跟踪训练】2 如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________ m.
【答案】20eq \r(6) .
【解析】∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，eq \f(AB,sin C)＝eq \f(AC,sin B)，
∴AB＝eq \f(AC·sin C,sin B)＝eq \f(60×sin 45°,sin 60°)＝20eq \r(6)(m)．
即A，B两点间的距离为20eq \r(6) m.
【跟踪训练】3 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝eq \f(\r(3),2) km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．
【答案】A，B两点间的距离为eq \f(\r(6),4) km.
【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝eq \f(\r(3),2).在△BCD中，∠DBC＝45°，
由正弦定理，得BC＝eq \f(DC,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq \f(\f(\r(3),2),sin 45°)·sin 30°＝eq \f(\r(6),4).
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcs 45°＝eq \f(3,4)＋eq \f(3,8)－2×eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(6),4)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,8).
∴AB＝eq \f(\r(6),4)(km)．∴A，B两点间的距离为eq \f(\r(6),4) km.
题型二 测量高度问题
例2 如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.并求出建筑物的高度。
解 选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α,β,CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得AC=asinβsinα-β
所以，这座建筑物的高度为 AB=AE+h=ACsinα+h=asinαsinβsinα-β+h
【跟踪训练】1 如图，要在山坡上A，B两处测量与地面垂直的铁塔CD的高，由A，B两处测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，AB长为40 m，斜坡与水平面成30°角，则铁塔CD的高为________m.
【答案】eq \f(40\r(3),3)
解析：延长CD交过A，B的水平线于点E，F，因为∠CAE＝60°，∠CBF＝45°，∠DBF＝30°，
所以∠BCF＝45°，∠ACE＝30°，∠BDF＝60°，
所以∠BCA＝15°，∠ADC＝120°，∠CBA＝15°，∠CAD＝30°.所以AC＝AB＝40，
在△ACD中，由正弦定理得，eq \f(AC,sin∠ADC)＝eq \f(CD,sin∠CAD)，
即eq \f(40,\f(\r(3),2))＝eq \f(CD,\f(1,2))，解得CD＝eq \f(40\r(3),3).
【跟踪训练】2 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m，到达B点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)
【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.
【解析】如图所示，点C，D分别为泉标的底部和顶端．
依题意，∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，
AB＝15.2 m，则∠ABD＝100°，
故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，根据正弦定理，
eq \f(BD,sin 60°)＝eq \f(AB,sin∠ADB). ∴BD＝eq \f(AB·sin 60°,sin 20°)＝eq \f(15.2·sin 60°,sin 20°)≈38.5(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BDsin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，
即泉城广场上泉标的高约为38 m.
【跟踪训练】3 甲、乙两楼相距200 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？
【答案】甲楼高为200eq \r(3) m，乙楼高为eq \f(400\r(3),3) m.
【解析】如图所示，AD为乙楼高，BC为甲楼高．
在△ABC中，BC＝200×tan 60°＝200eq \r(3)，
AC＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD＝∠DAC＝30°，
∴△ACD为等腰三角形．
由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cs 120°，4002＝AD2＋AD2－2AD2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝3AD2，AD2＝eq \f(4002,3)，AD＝eq \f(400\r(3),3).故甲楼高为200eq \r(3) m，乙楼高为eq \f(400\r(3),3) m.
题型三 测量角度问题
例3 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往营救，同时把消息告知位于甲船南偏西30° ，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船，那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到 1°）？需要航行的距离是多少海里（精确到1 n mile）？
【解析】根据题意，画出示意图，如图。
由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB∙AC∙cs120°=202+72-2×20×7×-12=589.
BC≈24n mile
由正弦定理，得sinC20=sin120°24
于是 sinC=20×3224=5312
由于0°