高端精品高中数学一轮专题-空间向量及其运算和空间位置关系（讲）（带答案）教案

空间向量及其运算和空间位置关系

【知识清单】

知识点1．空间向量的线性运算

1.空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度．

(2)几种常用特殊向量

①单位向量：长度或模为1的向量．

②零向量：长度为0的向量．

③相等向量：方向相同且模相等的向量.

④相反向量：方向相反而模相等的向量．

⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量．

⑥共面向量：平行于同一个平面的向量．

 2.空间向量的线性运算

(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广．

设a，b是空间任意两向量，若，P∈OC，则，，.  

（2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律

①加法交换律：a＋b＝b + a .

②加法结合律：(a＋b)＋c＝a +（b＋c）．

③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa+λb.

④数乘结合律：λ(μa)＝(λμ) a.(λ∈R，μ∈R)．

知识点2．共线向量定理、共面向量定理的应用

(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb.

(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使.把{a，b，c}叫做空间的一个基底．

推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，

使.其中x＋y＋z＝1.

知识点3．空间向量的数量积及其应用

1．两个向量的数量积

(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；

(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；

(3)|a|2＝a2，|a|＝.

2．向量的坐标运算

知识点4．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算

空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．

(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向．

(3)空间一点M的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

2．空间两点间的距离公式

设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝.

【考点分类剖析】

考点一 ：空间向量的线性运算

【典例1】如图，在长方体中，(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

在长方体中，

故选D.

【典例2】如图，在空间四边形中， ， ， ．点在上，且， 是的中点，则=(     )

A.     B.

C.     D.

【答案】B

【解析】由题，在空间四边形， ， ， ．点在上，且， 是的中点，则 ．

所以

故选B．

【规律方法】

用已知向量表示某一向量的方法

(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．

(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立．

【变式探究】

1．如图，在平行六面体中，为的交点．若 ，

，则下列向量中与相等的向量是（   ）

A．          B．

C．            D．

【答案】A

【解析】由题意知，

，故应选．

2．在平行六面体ABCD-­A1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点．

（1）用向量表示，；

（2）若，求实数x，y，z的值．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1），

.

（2），所以.

【总结提升】

1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.

2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.

考点二 ：共线向量定理、共面向量定理的应用

【典例3】如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，，判断向量是否与向量，共面．

【答案】向量与向量，共面．

【解析】．

，

，

由共面向量定理知向量与向量，共面．

【典例4】如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.

（1）求证：E，F，G，H四点共面；

（2）求证：平面EFGH；

（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，

，，，

又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；

（2）E，H分别是AB，AD的中点，

，，，

平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；

（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，

E，G分别是AB，CD的中点，

.

【规律方法】

1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．

2.中点向量公式，在解题时可以直接使用．

3．证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.

(1)；

(2)对空间任一点O，；

(3)对空间任一点O，．

4．证明空间四点共面的方法

对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面

(1)；

(2)对空间任一点O，；

(3)对空间任一点O，；

(4)∥(或∥或∥)．

【变式探究】

1．若，，不共线，对于空间任意一点都有，则，，，四点（    ）

A．不共面           B．共面            C．共线          D．不共线

【答案】B

【解析】由已知可得，即，可得,所以，，共面但不共线，故，，，四点共面．

2．已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点是否在平面内.

【答案】（1）共面；（2）点在平面内.

【解析】

（1）由题意，知：，

∴，即，

故共面得证.

（2）由（1）知：共面且过同一点.

所以四点共面，从而点在平面内.

考点三 ：  空间向量的数量积及其应用

【典例5】在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当最短时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，

∴ ，，

即:，；

平面，直线，

所以当、最短时，平面，，

为的中心，为线段的中点，

又正四面体的棱长为1，，

平面，，

．

故选：A．

【典例6】【多选题】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.则下列正确的是（    ）

A． B．

C．的长为 D．

【答案】BD

【解析】由空间向量的加法法则得，B正确，

，A错误；

由已知，

，C错；

，D正确．

故选：BD．

【总结提升】

1.空间向量数量积计算的两种方法

(1)基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.

2．空间向量数量积的三个应用

【变式探究】

1．已知向量， ，且与互相垂直，则的值为（    ）

A. 2    B. 0    C. -1    D. 1

【答案】B

【解析】因为向量， 与互相垂直， ，解得，故选B.

2．【多选题】已知四棱柱为正方体.则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．向量与向量的夹角是 D．

【答案】ABD

【解析】不妨设正方体的棱长为1，以为原点，为轴，为轴，

为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，

，，，.

选项A：，，

因为，所以，故选项A正确；

选项B：，，

有，故选项B正确；

选项C：，

有，，，

记向量与向量的夹角为，，

则，又，所以，故选项C错误；

选项D：因为，又，

所以

又，所以，有，故选项D正确；

故选：ABD.

【总结提升】

1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；

2. 当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以

3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝转化为向量求解．

考点四 ：  空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算

【典例7】已知，1，，，3，，，7，，点，，在平面内，则的值为（    ）

A． B．1 C．10 D．11

【答案】D

【解析】点，，在平面内，

存在实数，使得等式成立，

，，，2，，6，，

，消去，解得．

故选：D．

【典例8】正方体的棱长为1，､分别在线段与上，的最小值为______.

【答案】1

【解析】方法一(定义转化法)：因为直线与是异面直线，所以当是两直线的共垂线段时，取得最小值.取的中点，的中点.则线段就是两异面直线与的共垂线段.

在矩形中，为中位线，所以，

又因为平面，所以平面

又因为平面，所以.

同理可证，而，，

所以线段就是两异面直线与的共垂线段，且.

由异面直线公垂线段的定义可得，故的最小值为1.

方法二：(参数法)如图，取的中点，的中点.则线段就是两异面直线与的共垂线段.由正方体的棱长为1可得.

连结，则，所以为两异面直线与所成角.

在正方形中，，所以.

过点作，垂足为，连结，则，且.

设，，则.

在中，，

在中，.

显然，当时，取得最小值1，即的最小值为1.

方法三：(向量法)如图，以为坐标原点，分别以射线､､为､､轴建立空间直角坐标系.

设，.则，即；，

即.所以，

故当时，取得最小值1，即的最小值为1.

故答案为：1.

【规律方法】

空间向量的坐标运算

（1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．

（2）设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，那么

①a±b＝．

②a·b＝，

③cos〈a，b〉＝，

④|a|＝＝            ，

⑤λa＝，

⑥a∥b⇔(λ∈R)，

⑦a⊥b⇔.

（3）设点M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)，

则  

【变式探究】

1．点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【解析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以 所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示；
 

则点设点的坐标为，由题意可得

由二次函数的性质可得，当时取得最小值为；
当或1，且或1时，取得最大值为0，则的取值范围是

故选D．

2．已知在，，，若平面，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】 因为平面，所以，

所以，即，所以，

所以，

所以，

所以，所以的最小值为.

故答案为：.

【总结提升】

1.求向量的数量积的方法：

①设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ；

②若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.

根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算．

2.求向量模的方法：

①|a|＝；

②若a＝(x，y，z)，则|a|＝.