高端精品高中数学一轮专题-空间点、直线、平面之间的位置关系（讲）教案

空间点、直线、平面之间的位置关系

【知识清单】

知识点1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

知识点2．空间两直线的位置关系

直线与直线的位置关系的分类

直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．

平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

知识点3．异面直线所成的角

异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．

②范围：.

异面直线的判定方法：

判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；

反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

知识点4．直线与平面所成角

1．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.

知识点5．二面角

1．求二面角的大小

(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小

(或)．

【考点分类剖析】

考点一 ：平面的基本性质

【典例1】已知点A∈直线l，又A∈平面，则（    ）

A． B． C． D．或

【典例2】如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：

（1）当时，；

（2）点在平面内．

【规律方法】

1.证明点共线问题的常用方法

公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上

同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

2.证明线共点问题的方法

证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．

3.证明点、直线共面问题的常用方法

纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内

辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合

【变式探究】

1.若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

2.如图，是平行六面体，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（　　）

A.不共面 B.三点共线

C.不共面 D.共面

【总结提升】

公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．

画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．

证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可．

要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.

考点二：  空间线、面的位置关系

【典例3】若直线平面，则下列结论一定成立的个数是（    ）

①内的所有直线与m异面；

②内存在唯一一条直线与m相交；

③内存在直线与m平行．

A．0 B．1 C．2 D．3

【典例4】如图，设不全等的与不在同一个平面内，且、、，求证：、、三线共点．

【总结提升】

判断空间两直线位置关系的思路方法

(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．

(2)异面直线的判定方法

①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

【变式探究】

1.（广东高考真题）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（   ）

A.与，都相交 B.与，都不相交

C.至少与，中的一条相交 D.至多与，中的一条相交

2.若表示直线，表示平面，下列结论中正确的是_______.①；②；③；④.

【总结提升】

空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.

考点三：  异面直线所成的角

【典例5】如图，在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B．

C． D．

【规律方法】

1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．

平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

2．向量法(基底法、坐标法)求异面直线所成的角

根据题意，确定两异面直线各自的方向向量a，b，则两异面直线所成角θ满足cosθ＝.

【变式探究】在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（    ）

A．45° B．90°

C．正切值为2 D．正切值为

考点四：  直线与平面所成角

【典例6】【多选题】如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．直线与是异面直线

B．直线与所成的角为

C．直线与平面所成角的正切值为

D．点到平面的距离为

【典例7】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；

（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

【总结提升】

1.利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.

2.利用向量法求线面角的方法

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.

【变式探究】

1.已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.

2.已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有边长均为1.

（1）计算正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积和体积；

（2）求直线AB1与平面ABC所成角的大小.

考点五： 二面角

【典例8】如图，在斜三棱柱中，侧面为菱形，与交于点，，，，.

（1）求直线与所成角的正弦值；

（2）求二面角的正切值.

【总结提升】

1.利用几何法：原则上先利用图形“找平面角”或者遵循“一做----二证----三计算”.

2.（1）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

(2)用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况．

【变式探究】正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.

（1）求新多面体的体积；

（2）求正八面体中二面角的余弦值；

（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）