人教版新课标B必修22.3.1圆的标准方程教学设计

教学

环节

教学内容

师生互动

设计

意图

复习

引入

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？

由学生回答，然后引入课题

设置

情境

引入

课题

概念

形成

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r (其中a、b、r都是常数，r＞0)设M (x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P = {M|MA| = r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件

    ①

化简可得：(x – a)2 + (y – b)2 = r2②

引导学生自己证明(x – a)2 + (y – b)2 = r2为圆的方程，得出结论.

方程②就是圆心为A (a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.

通过学生自己证明培养学生的探究能力.

应用

举例

例1  写出圆心为A (2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，是否在这个圆上.

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.

探究：点M(x0，y0)与圆(x – a)2 + (y – b)2 = r2的关系的判断方法：

（1）(x0 – a)2 + (y0 – b)2＞r2，点在圆外.

（2）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 = r2，点在圆上.（3）(x0 – a)2 + (y0 – b)2 ＜r2，点在圆内.

引导学生分析探究:

从计算点到圆心的距离入手.    例1  解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x + 3)2 + ( y + 3)2 =25.

把M1 (5，–7)，M2 (，–1) 的坐标代入方程(x –2)2 + (y +3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把M2 (，–1)的坐标代入方程(x – 2)2 + (y +3)2 =25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上

通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.

例2 △ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，– 8). 求它的外接圆的方程.

解：设所求圆的方程是(x– a)2 + (y – b)2 = r2.   ①

因为A (5，1)，B (7，–3)，C (2，– 8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①. 于是

解此方程组，得

所以，△ABC的外接圆的方程是(x– 2)2 + (y +3)2 =25.

师生共同分析：从圆的标准方程(x – a)2 + (y – b)2 = r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)

例3 已知圆心为C的圆C. 经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在

l : x – y + 1 = 0上，求圆心为C的圆的标准方程.

比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：

①根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

练习：课本P127  第1、3、4题

师生共同分析：如图确定一个图只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)

例3  解：因为A (1，1)，B (2，– 2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)，直线AB的斜率

kAB == –3，

因为线段AB的垂直平分线l′的方程是

y +，

即x –3y –3 = 0.

圆心C的坐标是方程组

的解.

解此方程组，得

所以圆心C的坐标是(–3，–2) .

圆心为C的圆的半径长

r=|AC|== 5.

所以，圆心为C的圆的标准方程是

(x + 3)2 + (y +2)2 =25.

归纳总结

1．圆的标准方程.

2．点与圆的位置关系的判断方法.

3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.

教师启发，学生自己比较、归纳.

形成知识体 系

课外作业

布置作业：见习案4.1第一课时

学生独立完成

巩固深化