人教版新课标A必修51.2 应用举例教案设计

1．2解三角形的进一步讨论

（一）教学目标

1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

（二）教学重、难点

重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。

难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

（三）学法与教学用具

学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。

教学用具：教学多媒体设备

（四）教学设想

[创设情景]

思考：在ABC中，已知，，，解三角形。

（由学生阅读课本第9页解答过程）

从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

[探索研究]

例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况

分析：先由可进一步求出B；

则

从而

1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时，

如果≥，那么只有一解；

如果，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若，则有两解；

（2）若，则只有一解；

（3）若，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页）

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且

时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1]

（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。

（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3））

例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。

分析：由余弦定理可知

（注意：）

解：，即，

∴。

[随堂练习2]

（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型。

（2）已知ABC满足条件，判断ABC的类型。

（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）

例3．在ABC中，，，面积为，求的值

分析：可利用三角形面积定理以及正弦定理

解：由得，

则=3，即，

从而

[随堂练习3]

（1）在ABC中，若，，且此三角形的面积，求角C

（2）在ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积，求角C

（答案：（1）或；（2））

[课堂小结]

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；

（2）三角形各种类型的判定方法； 

（3）三角形面积定理的应用。

（五）评价设计（课时作业）

（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

（3）在ABC中，，，，判断ABC的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，

求这个三角形的面积。