高中数学 电子题库 第三章3 计算导数 北师大版选修1-1教案

高中数学 电子题库 第三章§3 计算导数 北师大版选修1-1

已知函数f(x)＝ln x，则f′(3)＝(　　)

A.　　　　　　　　

B．－

C．ln 3 

D．－ln 3

解析：选A.f′(x)＝(ln x)′＝，故f′(3)＝.

(2012·铜川检测)已知函数f(x)＝cos x，f′(x)＝－1，则x＝(　　)

A. 

B．－

C.＋2kπ，k∈Z 

D．－＋2kπ，k∈Z

解析：选C.f′(x)＝－sin  x，则sin  x＝1，

∴x＝＋2kπ，k∈Z.

已知f(x)＝，则f′(64)＝________．

解析：∵f(x)＝x，∴f′(x)＝x－，故f′(64)＝.

答案：

(2012·蚌埠调研)已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，若f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝________．

解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，

于是有2x－3x2＝－2，解得x＝.

答案：

[A级　基础达标]

(2012·南阳调研)曲线y＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于(　　)

A．1　　　　　　　　

B．2

C．3 

D．4

解析：选C.∵y′＝nxn－1，∴函数y＝xn(x∈N＋)在x＝2处的导数为n·2n－1＝12，

∴n＝3.

下列给出的四个命题中，正确的命题是(　　)

①若函数f(x)＝，则f′(0)＝0；

②若函数f(x)＝2x2＋1的图像上的点(1，3)的邻近一点是(1＋Δx，3＋Δy)，则＝4＋2Δx；

③瞬时速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数；

④曲线y＝x3在点(0，0)处没有切线．

A．①② 

B．②③

C．①②③ 

D．②③④

解析：选B.①中f′(x)＝(x)′＝，当x＝0时无意义；

④中y′＝(x3)′＝3x2，f′(0)＝0，有切线．

下列结论正确的个数为(　　)

①若y＝ln 2，则y′＝；②若f(x)＝，则f′(3)＝－；③若y＝2x，则y′＝2xln 2；④若y＝log5x，则y′＝.

A．4 

B．1

C．2 

D．3

解析：选D.在①中，(ln 2)′＝0，②③④都对．

若f(x)＝sin x，则f′(2π)＝________．

解析：∵f(x)＝sin x，∴f′(x)＝cos x.

∴f′(2π)＝cos 2π＝1.

答案：1

(2012·宿州检测)已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k＝________．

解析：y′＝(ln x)′＝，则＝k.

∴x＝.∴y＝k×＝1.

∴曲线y＝ln x过点，即1＝ln ，∴k＝.

答案：

.求过曲线y＝cos x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．

解：因为y＝cos x，所以y′＝－sin x.

曲线在点P处的切线的斜率是为－sin ＝－.

所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为 .

所以所求的直线方程为y－＝，

即2x－y－＋＝0.

[B级　能力提升]

(2011·高考江西卷)曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为(　　)

A．1 

B．2

C．e  D.

解析：选A.由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝e0＝1.

设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2012(x)等于(　　)

A．sin x 

B．－sin x

C．cos x 

D．－cos x

解析：选A.f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)＝cos x，

f2(x)＝f′1(x)＝－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－cos x.

f′4(x)＝f′3(x)＝sin x.

∴f2012(x)＝f0(x)＝sin x.

(2012·江津测试)半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看成(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看成(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________②.

②式可用语言叙述为________________________________________________________________________．

答案：′＝4πR2　球的体积函数的导数等于球的表面积函数

.点P是曲线y＝ex上一动点，求点P到直线y＝x的最小距离．

解：根据题意得：平行于直线y＝x且与曲线y＝ex相切的直线与曲线y＝ex的切点即为曲线y＝ex上到直线y＝x距离最近的点．设满足题意的P点的坐标为(x0，y0)，因为y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即满足题意的P点坐标为(0，1)．

由点到直线的距离公式得所求最小距离为.

(创新题)如图，质点P在半径为1 m的圆上沿逆时针方向做匀角速运动，角速度为1 rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度．

解：时刻t时，

∵角速度为1 rad/s，

∴∠POA＝1·t＝t rad，

∴∠MPO＝∠POA＝t rad，

∴OM＝OP·sin∠MPO＝sin t.

∴点M的运动方程为y＝sin t，∴v＝y′＝(sin t)′＝cos t.

即时刻t时，点P在y轴上的射影M点的速度为cos t m/s.