高中数学第三册--选修Ⅱ 第一章 概率与统计教案(第3课)离散型随机变量的期望与方差(1)

课    题： 1．2离散型随机变量的期望与方差（一）

教学目的：

1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．

　 ⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望

教学重点：离散型随机变量的期望的概念

教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

   3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

   4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

   若是随机变量，是常数，则也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）

    5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1．

7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

，（k＝0,1,2,…，n，）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．

8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k次试验时事件A发生记为、事件A不发生记为，P()=p，P()=q(q=1-p)，那么

（k＝0,1,2,…， ）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

称这样的随机变量ξ服从几何分布

记作g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．

二、讲解新课：

根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下

在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的期望

根据射手射击所得环数ξ的分布列，

我们可以估计，在n次射击中，预计大约有　　

　　次得4环；

　　　　次得5环；

…………

　　次得10环．

故在n次射击的总环数大约为

，

从而，预计n次射击的平均环数约为

．

这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．

对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:

…．

1.数学期望:  一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 ……  为ξ的数学期望，简称期望．

　　2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

4. 期望的一个性质:若(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

于是……

       ＝……)……)

       ＝，

由此，我们得到了期望的一个性质:

5.若ξB（n,p），则Eξ=np

证明如下：

∵　，

∴　0×＋1×＋2×＋…＋k×＋…＋n×．

又∵  ，

  ∴  ＋＋…＋＋…＋．

故　　若ξ～B(n，p)，则np．

三、讲解范例：

例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望

解：因为，

所以

例2. 随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望

解：∵，

=3.5

例3. 有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数的期望（结果保留三个有效数字）

解：抽查次数取110的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前次取出正品而第次（=1，2，…，10）取出次品的概率：

（=1，2，…，10）

需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：由此可得的概率分布如下：

根据以上的概率分布，可得的期望

例4. 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是，则~ B（20,0.9）,,

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

例5．随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．

解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

所以   

1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×

＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．

抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

例6．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km时租车费为10元，若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η

(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

(Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为

求所收租车费η的数学期望．

(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

解：(Ⅰ)依题意得　η=2(ξ-4)十10，即　η=2ξ+2；

(Ⅱ)

∵  η=2ξ+2

∴  2Eξ+2=34.8  （元）

故所收租车费η的数学期望为34.8元．

　　(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5(18-15)=15

　　所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟

四、课堂练习：

1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（      ）

A．4；　　B．5；　　C．4.5；　　D．4.75

答案：C  

2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；

⑵他罚球2次的得分η的数学期望；

⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

解：⑴因为，，所以

1×＋0×

⑵η的概率分布为

所以    0×＋1×＋2×＝1.4．

    ⑶ξ的概率分布为

　　　所以  0×＋1×＋2×＝2.1.

3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．

分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是，事件“ξ=k”发生，即n个大肠杆菌中恰有k个在此升水中，由n次独立重复实验中事件A（在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k次的概率计算方法可求出P(ξ=k),进而可求Eξ.

　　解：记事件A：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=．

　　　　∴　P(ξ=k)=Pn(k)=C)k(1－)n－k（k=0,1,2,….,n）．

　　∴　ξ～B(n,)，故　Eξ =n×=   

五、小结 ：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ  公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np

六、课后作业：

1.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是          （用数字作答）

解：令取取黄球个数 (=0、1、2)则的要布列为

于是 E（）=0×+1×+2×=0.8

故知红球个数的数学期望为1.2

2.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用表示得分数

①求的概率分布列

②求的数学期望

解：①依题意的取值为0、1、2、3、4

=0时，取2黑          p(=0)=

=1时，取1黑1白      p(=1)=

=2时，取2白或1红1黑p(=2)= +

=3时，取1白1红，概率p(=3)=

=4时，取2红，概率p(=4)=

∴分布列为

（2）期望E=0×+1×+2×+3×+4×=

3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p1、p2、p3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望

解：设表示产生故障的仪器数，Ai表示第i台仪器出现故障（i=1、2、3）

表示第i台仪器不出现故障，则：

p(=1)=p(A1··)+ p(·A2·)+ p(··A3)

=p1(1－p2) (1－p3)+ p2(1－p1) (1－p3)+ p3(1－p1) (1－p2)

= p1+ p2+p3－2p1p2－2p2p3－2p3p1+3p1p2p3

p(=2)=p(A1· A2·)+ p(A1··)+ p(·A2·A3) 

= p1p2 (1－p3)+ p1p3(1－p2)+ p2p3(1－p1)

= p1p2+ p1p3+ p2p3－3p1p2p3

p(=3)=p(A1· A2·A3)= p1p2p3      

∴=1×p(=1)+2×p(=2)+3×p(=3)= p1+p2+p3

注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望

4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是   1.2  

解：从5个球中同时取出2个球，出现红球的分布列为

5.  、两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，队队员是，队队员是，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设队，队最后所得分分别为，

（1）求，的概率分布；     （2）求，

解：（Ⅰ），的可能取值分别为3，2，1，0

根据题意知，所以

（Ⅱ）；

因为,所以

七、板书设计（略）

八、课后记：