湘教版必修23.2任意角的三角函数学案

任意角的三角函数

☆复习目标：1．了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算;

              2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义,会用三角函数线表示三角函数值．

☻基础热身：

1.  若且是，则是（    ）

    A．第一象限角  B．第二象限角    C．第三象限角    D．第四象限角

2. “”是“”的                      （    ）

    A．充分而不必要条件   B．必要而不充分条件  C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

3. 是第二象限角，P（x,）为其终边上一点，且cos=,则sin的值是     （     ）

A.                B.                 C.             D.-

4. 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(     )

A.1               B.4              C.1或4              D.2或4

☻知识梳理：

1.角的分类

①按角的旋转方向，角分为　　　　　　、　　　　　　、　　　　　　．

②按终边所在位置分：

1.当角的顶点和　重合,角的始边与　重合,则角的终边在第几象限,就叫做第几象限角；

若终边落在　　　　　则叫做轴上角．

2.第一象限角的集合为　 　     　　；第三象限角的集合为　　          　　　　；

3.轴正半轴上角可表示为　　　      　　　　；　

轴负半轴上角可表示为　    　　　　；  轴上角可表示为　　 　　　　　.

　　轴正半轴上角可表示为　　　      　　　　；　

轴负半轴上角可表示为　　    　　　；  轴上角可表示为　　   　　　.

    4.与角终边相同的角的集合: 　　       　　　　　.

2.弧度制:  一弧度角的定义:                                ；

 1.角度制和弧度制的互化:　．

2.扇形半径为Ｒ,圆心角弧度数是,则这个扇形的弧长＝ 　,面积Ｓ＝　　＝　  ．

３.任意角三角函数

　1.定义：设是一个任意角，角的终边上任意一点，它与原点的距离为r (r>0)，

那么角的正弦、余弦、正切分别是：

　　　 它们都是以角为　　  ，以比值为　　　　的函数．

　2.三角函数线：

用单位圆中的有向线段表示三角函数.

　　     设角的顶点在原点，如图终边与单位圆

 相交于点Ｐ，过Ｐ作ＰＭ垂直轴于Ｍ，

 则

☆ 案例分析：

例1. 若是第二象限的角，试分别确定2, ,的终边所在位置.

例2. 若，则的取值范围是 (      )

（Ａ）　　 （Ｂ）　　  （Ｃ）　　 （Ｄ）

例3. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:

(1)sin≥;                        (2)cos≤.

例4. 已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.

例5. 求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.

参考答案:

基础热身：

1. C

2. A       当时，，

       反之，当时，有，

             或，故应选A.

3. A    4. C

例1. 解  ∵是第二象限的角，

∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），

∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.

（2）∵k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°（k∈Z），∴是第一或第三象限的角.

（3）∵k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z），∴是第一或第二或第四象限的角.

例2. 【解】：∵ ∴ ，即

又∵  ∴，∴ ，即 故选C；

例3. 解  （1）作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角

的终边的范围，故满足条件的角的集合为

|2k+≤≤2k+，k∈Z  .

（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为.

例4. 解  ∵角的终边在直线3x+4y=0上，

∴在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),                                                                              2分

则x=4t,y=-3t,

r=,        4分

当t＞0时，r=5t,sin=,cos=,tan=;    8分

当t＜0时，r=-5t,sin=,cos=,tan=.  10分

综上可知，t＞0时，sin=,cos=,tan=;

t＜0时，sin=,cos=-,tan=. 

例5. 解  （1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).

∴x∈（k∈Z）.

（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜,∴-＜sinx＜.

利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),

∴x（k-,k+）（kZ).