沪教版高中一年级 第二学期5.2任意角的三角比教学设计

几个三角恒等式

三维目标

知识与技能

　　掌握和差化积、积化和差公式的推导方法．

过程与方法

　　通过和差化积和积化和差公和公式的推导，提高学生三角变换的能力．

情感、态度、价值观

　　让学生经历数学探索和发现的欲望和信心，体验成功的感觉．

重点难点

重点：积化和差、和差化积公式的推导方法．

难点：三角恒等式的证明．

教学过程

一、创设情境

sin(＋)＝sincos＋cossin．

sin(－)＝sincos－cossin．

　　以上是用，的正余弦表示它们和或者差的正弦，反之，sincos如何用sin(＋)和sin(－)来表示呢？

二、讲解新课

数学理论：

sincos＝[sin(＋)＋sin(－)]，

cossin＝[sin(＋)－sin(－)]，

coscos＝[cos(＋)＋cos(－)]，

sinsin＝－[cos(＋)－cos(－)]．

　　以上这些表达式把三角函数的乘积化为同名的三角函数的和或者差，统称积化和差公式，对于这些结论不必加以记忆和运用．

　　问题：由sin(＋)＋sin(－)＝2sincos试推导sin＋sin．

　　令A＝＋，B＝－，可得

sinA＋sinB＝2sincos，

sinA－sinB＝2cossin，

cosA＋cosB＝2 coscos，

cosA－cosB＝－2sinsin．

　　以上过程体现的换元的数学方法，这些表达式把同名的三角函数的和或者差化为三角函数的乘积，统称和差化积公式，对于这些结论也不必加以记忆和运用．

例题讲解：

　　例1　运用三角函数变换证明：tan＝＝．

　　证明：tan＝＝＝．

tan＝＝＝．

例2　已知sin(＋)＝，sin(－)＝，求的值．

解：由已知可得

　　　　　　　　　　　sincos＋cossin＝，

　　　　　　　　　　　sincos－cossin＝．

两式相加得　　

　　　　　　　　　　　sincos＝，

相减得

　　　　　　　　　　  cossin＝．

＝＝＝＝5．

课堂训练：

1．设，，＋均为锐角，a＝sin(＋)，b＝sin＋sin，c＝cos＋cos，则(　　)

　　A．a＜b＜c　　　B．b＜a＜c　　　C．a＜c＜b　　　D．b＜c＜a

答案：A．

2．已知是第三象限角，且sin＝－，则tan的值为　　　　　　　　　　(　　)

　　A．　　　　　　B．　　　　　　C．－　　　　　D．－

答案：D．

3．在△ABC中，求证：sin2A＋sin2B－sin2C＝2sinAsinBsinC．

　　证明：sin2A＋sin2B－sin2C

　　　　＝sin2(B＋C)＋－

　　　　＝sin2(B＋C)＋(cos2C－cos2B)

　　　　＝sin2(B＋C)＋sin(B＋C)sin(B－C)

　　　　＝sin(B＋C)[ sin(B＋C)＋sin(B－C)]

　　　　＝sinA·2sinBsinC＝2sinAsinBsinC．

三、课堂小结