数学高中一年级 第一学期1.6子集与推出关系教案设计

1.5（2）充分条件，必要条件（充要条件）

一、教学目标设计 

理解充要条件的意义,能在简单的问题情境中判断条件的充分必要性；掌握判断命题的条件的充要性的方法；在充要条件的学习过程中，形成等价转化思想。

二、教学重点与难点    

理解充要条件意义及给定两个命题之间的等价（充要）关系的判断既是本节重点，也是本节难点。

三、教学流程设计

四、教学过程设计

        一、复习引入

问：一个命题条件的充分性和必要性可分为四类，有哪四类？

答：充分不必要条件；必要不充分条件；既充分又必要条件；既不充分也不必要条件。

练习： 判断下列各命题条件的充分性和必要性

(1)若x>0则x2>0（充分不必要条件）。

(2)若两个角相等，则两个角是对顶角（必要不充分条件）。(3)若三角形的三条边相等，则三角形的三个角相等。(充分必要条件)

(4)若x是4 的倍数，则x是6的倍数（既不充分又不必要条件）

（5）若a，b为实数，，则。(充分必要条件)

二、概念形成

1、结合问题进行说明：命题（3）中：因为三角形的三条边相等三角形的三个角相等，所以“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充分条件；又因为三角形的三个角相等三角形的三条边相等，所以“三角形的三条边相等”又是“三角形的三个角相等”的必要条件。因此“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”既充分又必要的条件。

2、充要条件定义

一般地，如果既有α⇒β，又有β⇒α，就记作：α⇔β（“⇔”叫做等价符号），那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，我们称为α是β的充分而且必要条件，简称充要条件。

[说明] ①可以解释为α⇔β，α与β互为充要条件。②可以进一步解释为：有它必行，无它必不行。③可以结合实例解释为：如|x| = |y|与x2 = y2互为充要条件，即若|x|=|y|，则一定有 x2 = y2；若|x|≠|y|，则一定有x2 ≠ y2。

三、概念运用与深化（例题解析）

例1： 指出下列各组命题中，α是β的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？（补充例题）

（1）α：(x-2)(x-3)=0；β：x-2=0.

（2）α：同位角相等；β：两直线平行。

（3）α：x=3； β：x2=9。

（4）α：四边形的对角线相等；β：四边形是平形四边形。

解：（1）因x-2=0 (x-2)(x-3)=0,而: (x-2)(x-3)=0⇏x-2=0.

所以α是β的必要而不充分条件。

（2）因同位角相等⇔两直线平行，所以α是β的充要条件。

（3）因x=3x2=9,而x2=9⇏x=3，所以α是β的充分而不必要条件。

（4）因四边形的对角线相等⇏四边形是平行四边形，又四边形是平四边形⇏四边形的对角线相等。所以α是β的既不充分也不必要条件。

[说明]①可组织学生通过讨论解答各题。②等价关系与推出关系一样具有可传递性，充要条件间的关系即等价关系，可通过多次等价关系传递性得证，这也是证明充要条件问题的一种基本方法。

例2：已知实系数一元二次方程（），“”是“方程有两个相等的实数根”的什么条件？为什么？（课本例题P21例5）

解：方程变形为.

∵     ∴

∴“”是“方程有两个相等的实数根”的充分条件。

反过来，方程有两个相等的实数根，那么根据方程根与系数关系得

∴

∴“”是“方程有两个相等的实数根”的必要条件。

综上所述“”是“方程有两个相等的实数根”的充要条件。

[说明]充分性证明：条件⇒结论；必要性证明：结论⇒条件。

四、巩固练习

课本P/22——练习1.5（2）1，2

补充练习

1、判断下列各命题条件是否是充要条件：

(1)x是6的倍数，则x是2的倍数。（充分不必要条件）

(2)x是2的倍数，则x是6的倍数。（必要不充分条件）

(3)x既是2的倍数也是3的倍数，则x是6的倍数。(充要条件)

(4)x是4的倍数，则x是6的倍数。（既不充分又不必要条件）

2、完成下列表格

五、课堂小结

内容小结

本节课的主要内容是“充要条件”的判定方法，即如果α⇒β，又有β⇒α，则α是β的充要条件。

方法小结

如何判断充要条件

判别步骤：

① 认清条件和结论。

② 考察p⇒q和q⇒p的真假。

判别技巧：

① 可先简化命题。

② 否定一个命题只要举出一个反例即可。

③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

六、课后作业

1、书面作业：习题1.5 ----4,5,6,7,8,9

2、完成下列表格

3、思考题：设集合M={x|x>2},P={x|x<3},则“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的什么条件？（“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件）

七、设计说明

    1．在理解充要条件意义时，应明确若α是β的充要条件，则β也是α的充要条件。

    2．由于“充要条件”与“原命题、逆命题、否命题、逆否命题”紧密相关。而学生在这之前已经学习了原命题与逆否命题、否命题与逆命题是等价的。为此，在实际教学中，可通过等价命题进行判断。

3．回答α是β的什么条件时，应从α是β的充分但不必要条件，必要但不充分条件，充要条件，即不充分又不必要条件4个方面进行明确叙述。

    4．由于这节课概念性、理论性较强。一般的教学使学生感到枯燥无味。为此，激发学生的学习兴趣是关键。把课堂由老师当演员转为学生当演员，以学生为主，让学生自己构造数学题，自我感知数字

美，从而培养学生的数学能力。