高中数学沪教版高中一年级 第一学期2.4基本不等式及其应用教学设计及反思

2.4（1）基本不等式及其应用

一、教学内容分析

基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.

二、教学目标设计

1、掌握两个基本不等式：（、）、（、为任意正数），并能用于解决一些简单问题.

2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.

3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点.

三、教学重点及难点

重点  两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用.

难点  基本不等式的应用.

四、教学用具准备

    电脑、投影仪

五、教学流程设计

六、教学过程设计

一、新课引入

在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.

例如，、（）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之差小于第三边等等.

二、新课讲授

1、基本不等式1

基本不等式1  对于任意实数和，有，当且仅当时等号成立.

（1）基本不等式1的证明

证明：因为，所以.

    当时，.当时，.

所以，当且仅当时，的等号成立.

（2）基本不等式1的几何解释

① 解释1

边长为的正方形面积与边长为的正方形面积之和大于等于以、为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当时等号成立）.

已知正方形，分别在边、边上取点、，使得.分别过点、作、，垂足为、.和交于点.

由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积 剩余部分的面积，当且仅当点移至中点时等号成立.

② 解释2

某届数学大会的会徽怎样的？

三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：

如图所示，以、、分别表示勾、股、弦，那么，表示“弦图”中两块“朱实”的面积，表示“中黄实”的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以为边长的正方形“弦实”的面积，即

这就是勾股定理的一般表达式.

由图可知：

以为边长的正方形“弦实”的面积 四块“朱实”的面积即，（当且仅当时等号成立）.

2、基本不等式2

观察下面这个几何图形.

已知半圆，是半圆上任一点，是直径.

过作，垂足为.

显然有线段的长度大于等于垂线段的长度.

设，，请用、来表示上述这个不等关系.（ 即，当且仅当时等号成立.）

基本不等式2  对于任意正数、，有，当且仅当时等号成立.

我们把和分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

（1）基本不等式2的证明

证明：因为，所以.

    当时，.当时，.

所以，当且仅当时，的等号成立.

另证：因为、为正数，所以、均存在.

    由基本不等式1，得，当且仅当时等号成立.

    即，当且仅当时等号成立.

（2）基本不等式2的扩充

     对于任意非负数、，有，当且仅当时等号成立.

例1  已知，求证：，并指出等号成立的条件.

证明：因为，所以 、同号，并有，.

所以，.当且仅当 ，即时等号成立.

[说明]

1、体会代换的方法.

2、用语言表述上述结论.

3、思考：若，则代数式的取值范围是什么？（，当且仅当时等号成立.）

3、两个基本不等式的简单应用

（1）几何问题

例2  在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？

猜想：由几何画板电脑演示得出.

解：设矩形的长、宽分别为、（、）且（定值），则同样周长的正方形的边长为.

    矩形面积，正方形面积

    由基本不等式2，得，又由不等式的性质得，即.

由题意，（定值），所以（定值）.当且仅当，即矩形为正方形时，矩形的面积最大.

[说明]

当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值.

    例如，若时，有，当且仅当时等号成立.（事实上，由（），得，当且仅当时等号成立.）

三、课堂小结

略

四、作业布置

1、练习2.4（1）

2、思考题

（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.

（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？

（3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.

七、教学设计说明

本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.

为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用 “观察 —— 猜测 —— 归纳 —— 证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.

在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察 —— 猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.

通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.