高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数1 复数的概念及其几何意义1.1 复数的概念备课ppt课件

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5.1.1 复数的概念课标阐释 1.了解数系的扩充与引进复数的必要性.(数学抽象)2.理解复数的有关概念及其代数形式.(数学抽象)3.掌握复数相等的充要条件及其应用.(数学运算)思维脉络 激趣诱思知识点拨数的概念是不断发展的.由于计数的需求产生了自然数;为了使方程x+4=0有解,引入了负数;为了使方程3x-2=0有解,引入了分数;为了使方程x2=2有解,引入了无理数,数系扩充到了实数集;引进无理数以后,我们已经能使方程x2=a(a>0)永远有解,但是当a<0时,方程x2=a(a<0)在实数范围内无解,为了使方程x2=a(a<0)有解,就必须把实数概念进一步扩大,至此引入了复数.这一节我们就学习一下复数的概念.激趣诱思知识点拨一、复数的概念形如a+bi(其中a,b∈R)的数叫作复数,通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为复数z的实部,记作Re z,b称为复数z的虚部,记作Im z.对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫作虚数;当a=0且b≠0时,叫作纯虚数.名师点析1.因为i2=-1,所以虚数单位i实质是-1的一个平方根,当然i也可看做是方程x2=-1的一个根.2.对于复数z=a+bi(a,b∈R),注意其虚部是b,而不是bi.激趣诱思知识点拨微思考1两个复数一定能比较大小吗?提示不一定,只有当这两个复数是实数时,才能比较大小.微思考2复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?提示不是,对于复数z=a+bi,只有当a,b∈R时,才能得出z的实部为a,虚部为b,若没有a,b∈R的条件,则不能说a,b就是z的实部与虚部.激趣诱思知识点拨二、复数的分类根据复数中a,b的取值不同,复数可以有以下的分类:全体复数构成的集合称为复数集,记作C,显然R⫋C.名师点析1.形如z=bi的数不一定是纯虚数,只有b∈R,且b≠0时,bi才是纯虚数,否则不一定是纯虚数.2.若z是纯虚数,可设z=bi(b∈R,b≠0);若z是虚数,可设z=a+bi(b∈R,且b≠0);若z是复数,可设z=a+bi(a,b∈R).激趣诱思知识点拨3.复数分类的集合表示如右图所示.4.正整数集N+,自然数集N,整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集C的关系为N+⫋N⫋Z⫋Q⫋R⫋C.激趣诱思知识点拨微练习1若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为(　　)A.-1　　　　 B.0C.1 D.-1或1答案A激趣诱思知识点拨答案A激趣诱思知识点拨三、复数相等的充要条件两个复数a+bi与c+di(a,b,c,d∈R)相等定义为:它们的实部相等且虚部相等,即a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d.名师点析两个复数不一定能比较大小1.若两个复数全是实数,则可以比较大小;反之,若两个复数能够比较大小,说明这两个复数都是实数.2.当两个复数不全是实数时,就不能比较它们的大小,只能说它们相等还是不相等.3.根据两个复数相等的充要条件,如果a=c,b=d两式中至少有一个不成立,那么就有a+bi≠c+di(a,b,c,d∈R).激趣诱思知识点拨微练习若(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别是(　　)A.1,1　　　　 B.-1,1C.1,0 D.1,-1答案D探究一探究二探究三当堂检测对复数相关概念的理解例1(多选)下列命题中,错误的是(　　)A.复数由实数、虚数、纯虚数构成B.若复数z=3m+2ni,则其实部与虚部分别为3m,2nC.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数D.若a∈R,且a≠0,则(a+3)i是纯虚数解析A错,复数由实数与虚数构成,在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.B错,只有当m,n∈R时,才能说复数z=3m+2ni的实部与虚部分别为3m,2n.C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)为纯虚数的条件是x=0且y≠0,只要x≠0,则复数z一定不是纯虚数.D错,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i才是纯虚数.答案ABD探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 判断复数概念方面的命题真假的注意点1.正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念,注意它们之间的区别与联系;2.注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同;3.注意通过列举反例来说明一些命题的真假.探究一探究二探究三当堂检测变式训练1下列命题中,正确的是(　　)A.1-ai(a∈R)是一个复数B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数C.两个复数一定不能比较大小D.若a>b,则a+i>b+i解析由复数的定义知A正确;当a∈R,且b=0时a+bi(b∈R)表示实数,故B错误;如果两个复数同时是实数时,可以比较大小,故C错误;a+i与b+i不能比较大小,故D错误.答案A探究一探究二探究三当堂检测复数分类及其应用 探究一探究二探究三当堂检测探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 利用复数的分类求参数的方法及注意事项1.利用复数的分类求参数时,首先应将复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,b∈R),若不是这种形式,应先化为这种形式,得到实部与虚部,再求解;2.要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件,再结合实部与虚部的取值求解;3.要特别注意复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0,且b≠0.探究一探究二探究三当堂检测变式训练2已知m∈R,复数z=lg m+(m2-1)i,当m为何值时,(1)z为实数?(2)z为虚数?(3)z为纯虚数?探究一探究二探究三当堂检测复数相等的充要条件及其应用例3已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,则实数m的值为　　　　,方程的实根x为　　　　. 解析设x=a是原方程的实根,则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i,由于a,m∈R,由复数相等的充要条件,探究一探究二探究三当堂检测反思感悟 复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解.(2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.探究一探究二探究三当堂检测延伸探究若将本例中的方程改为:x2+mx+2xi=-1-mi如何求解? 探究一探究二探究三当堂检测答案D 探究一探究二探究三当堂检测2.下列命题中:①若a∈R,则ai为纯虚数;②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;③两个虚数不能比较大小;④x+yi的实部、虚部分别为x,y.其中正确命题的序号是　　　　　. 解析①当a=0时,0i=0,故①不正确;②虚数不能比较大小,故②不正确;③正确;④x+yi中未标注x,y∈R,故若x,y为复数,则x+yi的实部、虚部未必是x,y,④不正确.答案③探究一探究二探究三当堂检测3.设复数z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m),m∈R,如果z是纯虚数,求m的值.