湘教版2.4 线段的垂直平分线教课内容ppt课件

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如图， 人字形屋顶的框架中，点A 与点A′关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在的直线l 与线段AA′有什么关系？
我发现DA=DA′, l⊥AA′
已知点A与点Ａ′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点Ａ′重合，AD=A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′．
我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。（中垂线）
线段是轴对称图形， 线段的垂直平分线是它的对称轴.
用符号语言描述右图的内容
如图， 在线段AB 的垂直平分线l上任取一点P， 连接PA，PB，线段PA, PB之间有什么关系？
作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB 的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA= PB.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
∵CD⊥AB,AC=BC∴PA=PB
我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB 两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？
(1) 当点P在线段AB上时，因为PA = PB， 所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.
由此得出线段垂直平分线的性质定理：
（2） 当点P在线段AB外时,如图, 因为PA =PB，所以△PAB是等腰三角形.过顶点P 作PC⊥AB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC = BC.
因此直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
∵PA=PB∴点P在线段AB的垂直平分线上
由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：（判定定理）
例1 已知：如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.
证明 ∵点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ 点O在AC的垂直平分线上.
例2 在三角形ABC中，DE是边AB的垂直平分线，AB=8cm，△ACD的周长为10cm。求△ABC的周长。
分析：∵△ACD的周长=AC+CD+AD=10而AD=BD∴AC+CD+BD=AC+BC=10∴△ABC的周长=AC+BC+AB=10+8=18
1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点D，E，∠B=30°，∠BAC= 80°， 求∠CAE的度数.
答：∠CAE=50°.
2.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且 AC =BC，AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 AB与CD相交于点O
6. 如图，已知AE＝CE， BD⊥AC．求证： AB＋CD＝AD＋BC．
7.如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证： 点D在AC的垂直平分线上．
3．若 P 是线段 AB 的垂直平分线上一点，且 PB＝6 cm，则PA ＝________cm.
4．如图 2，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，△ABD 的周长是 12 cm，AC＝5 cm，则 AB＋BD＋DC＝________cm；△ABC 的周长是________cm.
5.如图，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE＝6，求△BCE的周长．
如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（ ） B.8cm C.10cm D.12cm
∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等).又∵在△BCE中，BE+CE+BC=18cm，BC=8cm，∴BE+CE=10cm.∴AC=AE+CE=BE+CE=10cm.故应选择C.