人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律综合与测试导学案

这是一份人教版 (2019)必修 第二册第八章 机械能守恒定律综合与测试导学案，共16页。

1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式.2.会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.3.知道常见的几种功能关系，知道功是能量转化的量度.
一、多物体组成的系统机械能守恒问题
1.多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的.
2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.
3.机械能守恒定律表达式的选取技巧
(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解.
(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：
①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解.
②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解.
如图1所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，物块A和B均可视为质点，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮.开始时两物块都位于与地面距离为eq \f(1,2)H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落.若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值.滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计.
图1
答案 1∶2
解析 设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得：
m2g·eq \f(H,2)－m1g·eq \f(H,2)sin 30°＝eq \f(1,2)(m1＋m2)v2①
A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒，则：
eq \f(1,2)m1v2＝m1g·eq \f(H,2)sin 30°，②
由①②得eq \f(m1,m2)＝1∶2.
机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统，经常出现下面三种情况：
(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接.这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系.
(2)系统内两个物体通过轻绳连接.如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒.解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等.
(3)系统内两个物体通过轻杆连接.轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速度相等.
二、链条类物体的机械能守恒问题
链条类物体机械能守恒问题的解题关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化.
如图2所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？
图2
答案 eq \r(\f(gL,2))
解析 方法一 (取整个铁链为研究对象)：
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方eq \f(1,4)L处，末位置的重心与A点最初位置在同一水平面上，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·eq \f(1,4)L
由机械能守恒得：eq \f(1,2)mv2＝mg·eq \f(1,4)L，则v＝eq \r(\f(gL,2)).
方法二 (将铁链看做两段)：
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置.
重力势能减少量为
ΔEp＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)
由机械能守恒得：
eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)
则v＝eq \r(\f(gL,2)).
三、利用机械能守恒定律分析多过程问题
(2019·启东中学高一下学期期中)如图3，光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成，二者在B处相切并平滑连接，O为圆心，O、A在同一条水平线上，OC竖直，一直径略小于圆管直径的质量为m的小球，用细线穿过管道与质量为M的物块连接，物块距离地面足够高，将小球由A点静止释放，当小球运动到B处时细线断裂，小球继续运动.已知弧形轨道的半径为R＝eq \f(8,3) m，所对应的圆心角为53°，sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，g＝10 m/s2.
图3
(1)若M＝5m，求小球运动到B处时的速度大小；
(2)若M＝5m，求小球从C点抛出后下落高度h＝eq \f(4,3) m时到C点的水平位移；
(3)M、m满足什么关系时，小球能够运动到C点？
答案 (1)2eq \r(7) m/s (2)eq \f(4,3) m (3)M≥eq \f(20,7)m
解析 (1)小球从A到B：M、m系统机械能守恒
eq \f(1,2)(M＋m)v2＝MgxAB－mgxABsin 53°
在Rt△OAB中，得xAB＝eq \f(R,tan 53°)，解得v＝2eq \r(7) m/s；
(2)小球从B到C，根据机械能守恒，有eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mvC2＋mgR(1－cs 53°)
小球离开C后做平抛运动，x＝vCt
h＝eq \f(1,2)gt2
解得x＝eq \f(4,3) m；
(3)小球从A到B：M、m组成的系统机械能守恒
eq \f(1,2)(M＋m)vB2＝MgxAB－mgxABsin 53°
线断后，小球从B到C，vC≥0
eq \f(1,2)mvC2－eq \f(1,2)mvB2＝－mgR(1－cs 53°)
联立解得M≥eq \f(20,7)m.
机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大.解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律.
四、功能关系的理解与应用
功与能的关系：功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，做了多少功，就有多少能量发生转化.具体功能关系如下表：
如图4所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力.已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中( )
图4
A.重力做功2mgR
B.机械能减少mgR
C.合外力做功mgR
D.克服摩擦力做功eq \f(1,2)mgR
答案 D
解析 从P到B的过程中，小球下降的高度为R，则WG＝mgR，选项A错误；小球到达B点时恰好对轨道没有压力，则有mg＝meq \f(v\\al( 2,B),R)，设摩擦力对小球做的功为Wf，从P到B的过程，由动能定理可得mgR＋Wf＝eq \f(1,2)mvB2，联立以上两式解得：Wf＝－eq \f(1,2)mgR，即克服摩擦力做功eq \f(1,2)mgR，机械能减少eq \f(1,2)mgR，故B错误，D正确；根据动能定理知：W合＝eq \f(1,2)mvB2＝eq \f(1,2)mgR，故C错误.
(多选)如图5所示，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹(可视为质点)水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为x，木块对子弹的平均阻力为Ff，那么在这一过程中，下列说法正确的是( )
图5
A.木块的机械能增量为Ffx
B.子弹的机械能减少量为Ff(x＋d)
C.系统的机械能减少量为Ffd
D.系统的机械能减少量为Ff(x＋d)
答案 ABC
解析 木块机械能的增量等于子弹对木块的作用力Ff 做的功Ffx，A对；子弹机械能的减少量等于动能的减少量，即子弹克服阻力做的功Ff(x＋d)，B对；系统减少的机械能等于产生的内能，也等于摩擦力乘以相对位移，ΔE＝Ffd，C对，D错.
1.(功能关系)(多选)(2018·白水中学高一下学期期末)如图6所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为eq \f(3,4)g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
图6
A.重力势能增加了eq \f(3,4)mgh
B.克服摩擦力做功eq \f(1,4)mgh
C.动能损失了eq \f(3,2)mgh
D.机械能损失了eq \f(1,2)mgh
答案 CD
解析 这个过程中物体上升的高度为h，则重力势能增加了mgh，故A错误；加速度a＝eq \f(3,4)g＝eq \f(mgsin 30°＋Ff,m)，则摩擦力Ff＝eq \f(1,4)mg，物体在斜面上能够上升的最大高度为h，发生的位移为2h，则克服摩擦力做功Wf＝Ff·2h＝eq \f(1,4)mg·2h＝eq \f(mgh,2)，故B错误；由动能定理可知，动能损失量为ΔEk＝F合·2h＝m·eq \f(3,4)g·2h＝eq \f(3,2)mgh，故C正确；机械能的损失量为ΔE＝Ffx＝eq \f(1,4)mg·2h＝eq \f(1,2)mgh，故D正确.
2.(链条类机械能守恒问题)(2018·树德中学期末)如图7所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，Lx0)时，链条的速度大小为________.(用x0、x、L、g、α表示)
图7
答案 eq \r(\f(g,L)x2－x\\al( 2,0)sin α)
解析 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以AB面为零势能面，则
－eq \f(m,L)x0g·eq \f(1,2)x0sin α＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(m,L)xg·eq \f(1,2)xsin α
解得v＝eq \r(\f(g,L)x2－x\\al( 2,0)sin α)
3.(系统机械能守恒的计算)(2018·正定中学期末考试)如图8所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动.已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放.(重力加速度为g)
图8
(1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？
(2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？
(3)在杆刚转到竖直位置的瞬间，杆对B球的作用力为多大？是推力还是拉力？
答案 (1)eq \f(2\r(10gl),5) eq \f(\r(10gl),5) (2)－eq \f(6,5)mgl (3)eq \f(3,5)mg 推力
解析 (1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒.设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有mg·2l－mgl＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2
vA＝2lω，vB＝lω
联立解得vB＝eq \f(\r(10gl),5)，vA＝eq \f(2\r(10gl),5)
(2)对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝eq \f(1,2)mvA2
联立解得W＝－eq \f(6,5)mgl
(3)在杆刚转到竖直位置的瞬间，设杆对B球有向下的拉力F，根据向心力公式有
mg＋F＝meq \f(v\\al( 2,B),l)，解得F＝－eq \f(3,5)mg
负号表示杆对B球的作用力方向与假设方向相反，即向上，所以对B球的作用力为推力.
4.(系统机械能守恒的计算)(2018·许昌市高一下学期期末)如图9所示，一轻质竖直弹簧，下端与地面相连，上端与质量为m的物体A相连.弹簧的劲度系数为k，A处于静止状态，此时弹簧的弹性势能为Ep.一条不可伸长的轻绳绕过定滑轮，一端连接物体A，另一端连一轻质挂钩.开始时各段绳子都处于伸直状态，A上方的一段绳子沿竖直方向.现在挂钩上挂一质量为M的物体B并从静止状态释放.则当弹簧向上变为原长时，物体A和B的速度大小分别为多少？(已知重力加速度为g)
图9
答案 均为eq \r(\f(2[kEp＋mg2M－m],kM＋m))
解析 没有挂物体B时，设弹簧的压缩量为x，
对A，有：mg＝kx
解得：x＝eq \f(mg,k)
挂上物体B后，弹簧向上变为原长时，物体A和B的速度大小一样，设为v，从开始运动到弹簧变为原长的过程中，把A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，有：
Ep＝eq \f(1,2)(m＋M)v2＋mgx－Mgx
解得：v＝eq \r(\f(2[kEp＋mg2M－m],kM＋m)).
一、选择题
1.(多选)(2018·南京外国语学校期末)如图1所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连).现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
图1
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
答案 BC
2.(多选)如图2所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是( )
图2
A.M球的机械能守恒
B.M球的机械能减小
C.M和N组成的系统的机械能守恒
D.绳的拉力对N做负功
答案 BC
解析 因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误.
3.(多选)(2019·济南市高一下期中)如图3所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB＞mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动.现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中( )
图3
A.B球的动能增加，机械能增加
B.A球的重力势能和动能增加
C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D.A球和B球的总机械能守恒
答案 BD
解析 A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增加；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增加，故B球的机械能减少，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，故A、C错误，B、D正确.
4.(多选)(2018·厦门市高一下学期期末)如图4所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹(可视为质点)以速度v0沿水平方向射入木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动.若子弹相对木块静止时，木块前进距离为l，子弹进入木块的深度为d，木块对子弹的阻力Ff视为恒定，则下列关系式中正确的是( )
图4
A.Ffl＝eq \f(1,2)Mv2
B.Ffd＝eq \f(1,2)Mv2
C.Ffd＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2
D.Ff(l＋d)＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)mv2
答案 ACD
解析 画出运动过程示意图，从图中不难看出，当木块前进距离为l，子弹进入木块的深度为d时，子弹相对于地面发生的位移为l＋d.由牛顿第三定律知，子弹对木块的作用力大小也为Ff.
子弹对木块的作用力对木块做正功，由动能定理得
Ff·l＝eq \f(1,2)Mv2①
木块对子弹的作用力对子弹做负功，由动能定理得
－Ff·(l＋d)＝eq \f(1,2)mv2－eq \f(1,2)mv02②
由①②得Ff·d＝eq \f(1,2)mv02－eq \f(1,2)(M＋m)v2
所以，选项A、C、D正确.
5.如图5所示为低空跳伞表演，假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度为eq \f(4,5)g，在运动员下落h的过程中，下列说法正确的是( )
图5
A.运动员的重力势能减少了eq \f(4,5)mgh
B.运动员的动能增加了eq \f(4,5)mgh
C.运动员克服阻力所做的功为eq \f(4,5)mgh
D.运动员的机械能减少了eq \f(4,5)mgh
答案 B
解析 在运动员下落h的过程中，重力势能减少了mgh，故A错误；根据牛顿第二定律得，F合＝ma＝eq \f(4,5)mg，则根据动能定理得，合力做功为W合＝F合h＝eq \f(4,5)mgh，则动能增加了eq \f(4,5)mgh，故B正确；合力做功等于重力做功与阻力做功的代数和，因为重力做功为mgh，则运动员克服阻力所做的功为eq \f(1,5)mgh，故C错误；重力势能减少了mgh，动能增加了eq \f(4,5)mgh，故运动员机械能减少了eq \f(1,5)mgh，故D错误.
6.(多选)某运动员采用蹲踞式起跑，在发令枪响后，左脚迅速蹬离起跑器，在向前加速的同时提升身体重心.如图6所示，假设该运动员的质量为m，在起跑时前进的距离s内，重心升高量为h，获得的速度为v，重力加速度为g，则此过程中( )
图6
A.运动员克服重力做功WG＝mgh
B.运动员的机械能增加了eq \f(1,2)mv2
C.运动员的机械能增加了eq \f(1,2)mv2＋mgh
D.运动员对自身做功W＝eq \f(1,2)mv2＋mgh
答案 ACD
解析 运动员在此过程中重心升高量为h，获得的速度为v，故重力势能增加mgh，动能增加eq \f(1,2)mv2，则机械能增加eq \f(1,2)mv2＋mgh，A、C正确，B错误；运动员对自身做的功等于其机械能的增加量，D正确.
7.如图7所示，一根很长且不可伸长的柔软轻绳跨过光滑轻质定滑轮，轻绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，离地面高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a能达到的最大高度为(b球落地后不反弹，不计空气阻力)( )
图7
A.h
C.2h
答案 B
解析 释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向下加速运动，a、b组成的系统机械能守恒，设b落地瞬间速度为v，取地面所在平面为参考平面，则3mgh＝mgh＋eq \f(1,2)mv2＋eq \f(1,2)(3m)v2，可得v＝eq \r(gh)；b落地后，a向上以速度v做竖直上抛运动，能够继续上升的高度h′＝eq \f(v2,2g)＝eq \f(h,2).所以a能达到的最大高度为H＝h＋h′＝1.5h，B正确.
8.(2018·荆州中学期末)如图8所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上.放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图8
A.弹簧的劲度系数为eq \f(mg,h)
B.此时弹簧的弹性势能等于mgh＋eq \f(1,2)mv2
C.此时物体B的速度大小也为v
D.此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上
答案 A
解析 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于物体B的重力，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝eq \f(mg,h)，故A正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，故B错误；物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误；对A，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，又F＝mg，得a＝0，故D错误.
9.(多选)(2018·平顶山市高一下学期期末)如图9所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v1＝2 m/s顺时针运行，质量m＝2.0 kg的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A处以初速度v2＝4 m/s向左滑上传送带，若传送带足够长，已知物块与传送带间的动摩擦因数为0.4，g＝10 m/s2，下列判断正确的是( )
图9
A.物块离开传送带时的速度大小为2 m/s
B.物块离开传送带时的速度大小为4 m/s
C.摩擦力对物块做的功为－12 J
D.系统共增加了12 J的内能
答案 AC
解析 小物块先向左做匀减速直线运动，然后小物块向右做匀加速运动，当速度增加到与传送带速度相同时，以2 m/s向右做匀速运动，故A正确，B错误；根据动能定理，摩擦力对物块做的功等于物块动能的减少量：W＝eq \f(1,2)m(v12－v22)＝eq \f(1,2)×2.0×(22－42) J＝－12 J，故C正确；小物块先向左做匀减速直线运动，加速度大小为a＝μg＝4 m/s2，物块与传送带间的相对位移为：x1＝eq \f(42－0,2×4) m＋2×eq \f(4－0,4) m＝4 m，小物块向右做匀加速运动时物块与传送带间的相对位移为：x2＝eq \f(2－0,4)×2 m－eq \f(22－0,2×4) m＝0.5 m，故系统增加的热量为：Q＝μmg(x1＋x2)＝0.4×2.0×10×(4＋0.5) J＝36 J，故D错误.
10.(多选)(2018·高邮中学高一下学期期末)如图10所示，在竖直平面内有一半径为R的四分之一圆弧轨道BC，与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑.现有长也为R的轻杆，两端固定质量均为m的相同小球a、b(可视为质点)，用某装置控制住小球a，使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后由静止释放，杆将沿轨道下滑.设小球始终与轨道接触，重力加速度为g.则( )
图10
A.下滑过程中a球和b球组成的系统机械能守恒
B.下滑过程中a球机械能守恒
C.小球a滑过C点后，a球速度为2eq \r(gR)
D.从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做功为eq \f(1,2)mgR
答案 AD
11.(拓展提升)(多选)(2018·天津三中期末考试)如图11所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻质定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处.现将环从A点由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )
图11
A.环到达B点时，重物上升的高度为eq \f(d,2)
B.环到达B点时，环与重物的速度大小相等
C.环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能
D.环能下降的最大高度为eq \f(4,3)d
答案 CD
解析 环到达B点时，重物上升的高度h＝eq \r(2)d－d＝(eq \r(2)－1)d，A错误；环到达B点时，环沿绳方向的分速度与重物速度大小相等，故环的速度大于重物的速度，B错误；因为环与重物组成的系统机械能守恒，所以环减少的机械能等于重物增加的机械能，C正确；设环能下降的最大高度为H，此时环与重物的速度均为零，重物上升的高度为h′＝eq \r(H2＋d2)－d，由机械能守恒定律，得mgH＝2mg(eq \r(H2＋d2)－d)，解得H＝eq \f(4,3)d，D正确.
二、非选择题
12.(2018·黑龙江省实验中学高一下学期期末)如图12所示，质量都是m的物体A和B，通过轻绳跨过轻质定滑轮相连，斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力.开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行，用手托住A物体，A、B两物体均静止，重力加速度为g，撤去手后，求：
图12
(1)A物体将要落地时的速度多大？
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，则B物体在斜面上的最远点离地的高度多大？
答案 (1)eq \r(gh1－sin θ) (2)eq \f(1,2)h(1＋sin θ)
解析 (1)两物体组成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒，得：
mgh－mghsin θ＝eq \f(1,2)(m＋m)v2
解得：v＝eq \r(gh1－sin θ)
(2)当A物体落地后，B物体由于惯性将继续上升，此时绳子松弛，对B物体而言，只有重力做功，故B物体的机械能守恒，设其上升的最远点离地的高度为H，根据机械能守恒定律得：eq \f(1,2)mv2＝mg(H－hsin θ)，解得H＝eq \f(1,2)h(1＋sin θ).
13.素有“陆地冲浪”之称的滑板运动深受广大青少年喜爱.如图13所示是由足够长的斜直轨道、半径R1＝2 m的凹形圆弧轨道和半径R2＝3.6 m的凸形圆弧轨道三部分组成的模拟滑板组合轨道.这三部分轨道依次平滑连接，且处于同一竖直平面内.其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O与M点在同一水平面上，一可视为质点、质量为m＝1 kg的滑板从斜直轨道上的P点无初速度滑下，经M点滑向N点，P点距水平面的高度h＝3.2 m，不计一切阻力，g取10 m/s2.求：
图13
(1)滑板滑至M点时的速度大小；
(2)滑板滑至M点时，轨道对滑板的支持力大小；
(3)若滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，求滑板的下滑点P距水平面的高度.
答案 (1)8 m/s (2)42 N (3)5.4 m
解析 (1)对滑板由P点滑至M点，由机械能守恒得mgh＝eq \f(1,2)mvM2，解得vM＝8 m/s.
(2)对滑板滑至M点时受力分析，由牛顿第二定律得
FN－mg＝meq \f(v\\al( 2,M),R1)，解得FN＝42 N.
(3)滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，则有
mg＝meq \f(v\\al( 2,N),R2)，则vN＝6 m/s
滑板从P点到N点机械能守恒，则有
mgh′＝mgR2＋eq \f(1,2)mvN2，解得h′＝5.4 m.功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
WF＝－ΔEp
合外力做功
动能的改变
W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W＝ΔE机
两物体间滑动摩擦力对物体系统做功
机械能转化为内能
Ff·x相对＝Q