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2024年高中物理新教材同步学案 必修第二册 第8章 专题强化 多物体组成的系统机械能守恒问题 (含解析)
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专题强化 多物体组成的系统机械能守恒问题[学习目标] 1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式(重点)。2.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题(重难点)。3.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法(重难点)。一、多物体组成的系统机械能守恒问题1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示：2．机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。例1 如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧。从静止开始释放b球，则当b球刚落地时a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g)( )A.eq \r(gh) B.eq \r(2gh) C.eq \r(3gh) D.eq \r(6gh)答案 A解析 a、b两球组成的系统机械能守恒，设b球刚落地时的速度大小为v，则整个过程中系统动能增加量Ek增＝eq \f(1,2)(m＋3m)v2＝2mv2，系统重力势能的减少量Ep减＝3mgh－mgh＝2mgh，由机械能守恒定律得Ek增＝Ep减，所以2mv2＝2mgh，v＝eq \r(gh)，A正确。例2 如图所示，质量都是m的物体A和B，通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮相连，光滑固定斜面，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行，用手托住A物体，A、B两物体均静止，重力加速度为g，撤去手后，(1)求A物体将要落地时的速度大小；(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，求B物体在斜面上上升的最远点离地面的高度(B未与滑轮相撞)。答案 (1)eq \r(gh1－sin θ) (2)eq \f(1,2)h(1＋sin θ)解析 (1)两物体组成的系统机械能守恒，得：mgh－mghsin θ＝eq \f(1,2)(m＋m)v2解得：v＝eq \r(gh1－sin θ)(2)当A物体落地后，B物体由于惯性将继续上升，此时绳子松弛，对B物体而言，只有重力做功，故B物体的机械能守恒，设其上升的最远点离地面的高度为H，根据机械能守恒定律得：eq \f(1,2)mv2＝mg(H－hsin θ)，解得H＝eq \f(1,2)h(1＋sin θ)。例3 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。答案 eq \f(2\r(15gL),5) eq \f(\r(15gL),5)解析 把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球在最低点的位置为零势能位置，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL，末状态(即杆转到竖直位置)：系统的动能为Ek2＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2，重力势能为Ep2＝mgeq \f(L,2)，由机械能守恒定律得2mgL＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2，又因为在杆自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB，联立解得vA＝eq \f(2\r(15gL),5)，vB＝eq \f(\r(15gL),5)。二、非质点类物体的机械能守恒问题1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。例4 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)答案 eq \r(\f(gL,2))解析 方法一 取整个铁链为研究对象：设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方eq \f(1,4)L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·eq \f(1,4)L由机械能守恒得：eq \f(1,2)mv2＝mg·eq \f(1,4)L，则v＝eq \r(\f(gL,2))。方法二 将铁链看成两段：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置，如图所示。重力势能减少量为ΔEp＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)由机械能守恒得：eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)则v＝eq \r(\f(gL,2))。例5 如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计管壁对液体的阻力，重力加速度大小为g)( )A.eq \r(\f(1,8)gh) B.eq \r(\f(1,6)gh)C.eq \r(\f(1,4)gh) D.eq \r(\f(1,2)gh)答案 A解析 当两液面高度相等时，相当于右侧最上方eq \f(h,2)长度的液体移到左侧最上方，减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得eq \f(1,8)mg·eq \f(1,2)h＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(\f(1,8)gh)，选项A正确。专题强化练1.(多选)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB>mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中( )A．B球的动能增大，机械能增大B．A球的重力势能和动能都增大C．A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量D．A球和B球的总机械能守恒答案 BD解析 A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，选项A、C错误，B、D正确。2.(多选)如图所示，上表面是光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑水平面上，有一质量为m的物体B在弧上自由滑下的同时释放A，则( )A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒B．圆弧轨道对B的支持力对B不做功C．在B下滑的过程中，A的机械能增加D．A、B组成的系统机械能守恒答案 CD3.如图所示，轻绳连接A、B两物体，A物体悬在空中距地面H高处，B物体放在水平面上。若A物体质量是B物体质量的2倍，不计一切摩擦及空气阻力。由静止释放A物体，以地面为参考平面。当A的动能与其重力势能相等时，A距地面的高度是(B始终在水平面上)( )A.eq \f(1,5)H B.eq \f(2,5)H C.eq \f(3,5)H D.eq \f(4,5)H答案 B4.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是( )A．M球的机械能守恒B．M球的机械能减小C．M球和N球组成的系统的机械能守恒D．绳的拉力对N球做负功答案 BC解析 因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。5.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是( )A.eq \f(4R,3) B.eq \f(3R,2) C.eq \f(5R,3) D．2R答案 B解析 设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，有：3mgR－mgR＝eq \f(1,2)(3m＋m)v2解得：v＝eq \r(gR)，烧断细线后，对B运用动能定理有：－mgh＝0－eq \f(1,2)mv2解得：h＝eq \f(R,2)则B上升的最大高度为：H＝h＋R＝eq \f(3R,2)。故选B。6．(2022·日照市高一期中)如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，有一半在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后，链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为(g取10 m/s2)( )A．2.5 m/s B.eq \f(5\r(5),2) m/sC.eq \r(5) m/s D.eq \f(\r(35),2) m/s答案 A解析 设链条的质量为2m，以斜面的最高点所在平面为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－eq \f(1,2)×2mg·eq \f(L,4)sin 30°－eq \f(1,2)×2mg·eq \f(L,4)＋0＝－eq \f(3,8)mgL链条全部滑出后，动能为Ek′＝eq \f(1,2)×2mv2＝mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·eq \f(L,2)＝－mgL由机械能守恒可得E＝Ek′＋Ep′即－eq \f(3,8)mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5 m/s，故A符合题意。7．(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案 BC8.(多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，固定质量为2m的小球A，固定质量为m的小球B，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是( )A．A球到达最低点时速度为零B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度答案 BCD解析 在整个过程中，A球、B球组成的系统机械能守恒，则当A到达最低点时，A减少的重力势能大于B球增加的重力势能，根据系统机械能守恒知，此时系统动能不为零，A球的速度不为零，故A错误；因为系统机械能守恒，即A、B两球的机械能总量保持不变，A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量，故B正确；因为B球质量小于A球，当A球到达最低点时，A球重力势能的减少量大于B球的重力势能增加量，说明此时系统仍有速度，故B球要继续上升，则B球向左摆动所能达到的最高位置高于A球开始运动的高度，故C正确；因为不计一切阻力，系统机械能守恒，故当支架从左到右摆动时，A球一定能回到起始高度，故D正确。9．(多选)如图所示，物体A、B通过不可伸长的细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为m。开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )A．弹簧的劲度系数为eq \f(mg,h)B．此时弹簧的弹性势能等于mgh－eq \f(1,2)mv2C．此时物体B的速度大小也为vD．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上答案 AB解析 由题意可知，此时弹簧拉力大小等于物体B的重力，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝eq \f(mg,h)，故A正确；物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，故B正确；对A，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，又F＝mg，得a＝0，故D错误。10.如图所示，将运动员在单杠上的运动等效为“L”形物体绕直角顶点O在单杠上转动。运动员的上身质量等效在A点，质量为3m，运动员的腿部质量等效在B点，质量为2m，其中AO⊥BO，OA长为L，OB长为2L。起始时运动员身体上部直立，腿部水平，之后使身体保持形态不变绕单杠自由转动起来，重力加速度为g，不计一切阻力。求：(1)B点转到最低点时的速度大小；(2)B点由初始位置转到最低点的过程中，B的机械能增量。答案 (1)2eq \r(\f(14gL,11)) (2)eq \f(12,11)mgL解析 (1)当B点转到最低点时，根据机械能守恒定律有2mg·2L＋3mg·L＝eq \f(1,2)×3mv12＋eq \f(1,2)×2mv22由于运动员在转动过程中各部分的角速度相同，故有v1＝eq \f(1,2)v2联立以上两式解得v1＝eq \r(\f(14gL,11))，v2＝2eq \r(\f(14gL,11))；(2)设B在最低点的位置为零势能位置，则开始时B的总机械能E1＝4mgL转到最低点时，B的总机械能E2＝eq \f(1,2)×2mv22＝eq \f(56mgL,11)故机械能增量ΔE＝E2－E1＝eq \f(12,11)mgL。11.(2023·武汉市外国语学校高一期中)如图所示，质量为mA＝1 kg的物体A置于光滑水平台面上，质量为mB＝2 kg的物体B穿在光滑竖直杆上，杆与平台有一定的距离，A、B两物体通过不可伸长的轻绳跨过台面边缘的光滑小定滑轮相连。初始时刻A、B等高，轻绳恰好拉直且与台面平行。现由静止释放两物体，当物体B下落h＝1.65 m时，B的速度为vB＝5 m/s。已知g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，求：(1)轻绳对A所做的功；(2)A向右移动的距离。答案 (1)8 J (2)0.825 m解析 (1)根据题意可知，物体B下降的过程中，物体A、B组成的系统机械能守恒，设当物体B下落h＝1.65 m时，物体A的速度为vA，则有mBgh＝eq \f(1,2)mAvA2＋eq \f(1,2)mBvB2解得：vA＝4 m/s物体B下落过程中，设轻绳对A所做的功为W，对物体A，由动能定理有W＝eq \f(1,2)mAvA2解得W＝8 J(2)把物体B的速度分解，如图所示由几何关系有：vA＝vBsin θ解得：sin θ＝0.8即θ＝53°由几何关系可得，A向右移动的距离为x＝eq \f(h,sin 53°)－eq \f(h,tan 53°)＝0.825 m12.如图所示，光滑水平面与光滑半球面相连，O点为球心，一轻绳跨过光滑小滑轮连接物块A、B，A、B质量相等且均可视为质点，开始时A、B静止，轻绳水平伸直，B与O点等高，释放B后，当B和球心O的连线与竖直方向夹角为30°时，B下滑速度为v，此时A仍在水平面上，重力加速度为g，则球面半径为( )A.eq \f(7v2,4g) B.eq \f(72＋\r(3)v2,4g)C.eq \f(7\r(3)v2,4g) D.eq \f(7v2,4\r(3)g)答案 D解析 在该过程中，物块A和物块B组成的系统机械能守恒，则有mgRcos 30°＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2，如图所示，将B的速度沿着平行于绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，物块A、B沿着绳子方向的分速度相等，故有vA＝vBcos 30°，其中vB＝v，联立解得R＝eq \f(7v2,4\r(3)g)，D项正确。
专题强化 多物体组成的系统机械能守恒问题[学习目标] 1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式(重点)。2.会分析多个物体组成的系统的机械能守恒问题(重难点)。3.掌握非质点类物体的机械能守恒问题的处理方法(重难点)。一、多物体组成的系统机械能守恒问题1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移时，系统的机械能守恒。一般选系统为研究对象来列机械能守恒方程。含弹簧的系统，要注意与弹簧接触的物体往往机械能不守恒，而是含有弹簧和物体的整个系统机械能守恒。常见情景如图所示：2．机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解。(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解。②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解。③从机械能的转化角度来看，系统中某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用E减＝E增来列式。3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh的关系。例1 如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧。从静止开始释放b球，则当b球刚落地时a球的速度为(不计空气阻力，重力加速度为g)( )A.eq \r(gh) B.eq \r(2gh) C.eq \r(3gh) D.eq \r(6gh)答案 A解析 a、b两球组成的系统机械能守恒，设b球刚落地时的速度大小为v，则整个过程中系统动能增加量Ek增＝eq \f(1,2)(m＋3m)v2＝2mv2，系统重力势能的减少量Ep减＝3mgh－mgh＝2mgh，由机械能守恒定律得Ek增＝Ep减，所以2mv2＝2mgh，v＝eq \r(gh)，A正确。例2 如图所示，质量都是m的物体A和B，通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮相连，光滑固定斜面，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦及空气阻力。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端且与B相连的绳与斜面平行，用手托住A物体，A、B两物体均静止，重力加速度为g，撤去手后，(1)求A物体将要落地时的速度大小；(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，求B物体在斜面上上升的最远点离地面的高度(B未与滑轮相撞)。答案 (1)eq \r(gh1－sin θ) (2)eq \f(1,2)h(1＋sin θ)解析 (1)两物体组成的系统机械能守恒，得：mgh－mghsin θ＝eq \f(1,2)(m＋m)v2解得：v＝eq \r(gh1－sin θ)(2)当A物体落地后，B物体由于惯性将继续上升，此时绳子松弛，对B物体而言，只有重力做功，故B物体的机械能守恒，设其上升的最远点离地面的高度为H，根据机械能守恒定律得：eq \f(1,2)mv2＝mg(H－hsin θ)，解得H＝eq \f(1,2)h(1＋sin θ)。例3 如图所示，有一轻质杆可绕O点在竖直平面内自由转动，在杆的另一端和中点各固定一个质量均为m的小球A、B，杆长为L，重力加速度为g。开始时，杆静止在水平位置，则无初速度释放后杆转到竖直位置时，求A、B两小球的速度大小。答案 eq \f(2\r(15gL),5) eq \f(\r(15gL),5)解析 把A、B两小球和杆看成一个系统，对系统而言，只有重力做功，系统的机械能守恒。以A球在最低点的位置为零势能位置，则初状态：系统的动能为Ek1＝0，重力势能为Ep1＝2mgL，末状态(即杆转到竖直位置)：系统的动能为Ek2＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2，重力势能为Ep2＝mgeq \f(L,2)，由机械能守恒定律得2mgL＝eq \f(1,2)mgL＋eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2，又因为在杆自由转动过程中A、B两球的角速度相同，则vA＝2vB，联立解得vA＝eq \f(2\r(15gL),5)，vB＝eq \f(\r(15gL),5)。二、非质点类物体的机械能守恒问题1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。例4 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)答案 eq \r(\f(gL,2))解析 方法一 取整个铁链为研究对象：设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方eq \f(1,4)L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·eq \f(1,4)L由机械能守恒得：eq \f(1,2)mv2＝mg·eq \f(1,4)L，则v＝eq \r(\f(gL,2))。方法二 将铁链看成两段：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置，如图所示。重力势能减少量为ΔEp＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)由机械能守恒得：eq \f(1,2)mv2＝eq \f(1,2)mg·eq \f(L,2)则v＝eq \r(\f(gL,2))。例5 如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(不计管壁对液体的阻力，重力加速度大小为g)( )A.eq \r(\f(1,8)gh) B.eq \r(\f(1,6)gh)C.eq \r(\f(1,4)gh) D.eq \r(\f(1,2)gh)答案 A解析 当两液面高度相等时，相当于右侧最上方eq \f(h,2)长度的液体移到左侧最上方，减少的重力势能转化为全部液体的动能，根据机械能守恒定律得eq \f(1,8)mg·eq \f(1,2)h＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(\f(1,8)gh)，选项A正确。专题强化练1.(多选)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB>mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动。现使轻杆从水平位置无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放至转动90°的过程中( )A．B球的动能增大，机械能增大B．A球的重力势能和动能都增大C．A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量D．A球和B球的总机械能守恒答案 BD解析 A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增大；B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小；对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增大，故B球的机械能减小，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，选项A、C错误，B、D正确。2.(多选)如图所示，上表面是光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑水平面上，有一质量为m的物体B在弧上自由滑下的同时释放A，则( )A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒B．圆弧轨道对B的支持力对B不做功C．在B下滑的过程中，A的机械能增加D．A、B组成的系统机械能守恒答案 CD3.如图所示，轻绳连接A、B两物体，A物体悬在空中距地面H高处，B物体放在水平面上。若A物体质量是B物体质量的2倍，不计一切摩擦及空气阻力。由静止释放A物体，以地面为参考平面。当A的动能与其重力势能相等时，A距地面的高度是(B始终在水平面上)( )A.eq \f(1,5)H B.eq \f(2,5)H C.eq \f(3,5)H D.eq \f(4,5)H答案 B4.(多选)如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两中心有孔的相同小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中，下列说法中正确的是( )A．M球的机械能守恒B．M球的机械能减小C．M球和N球组成的系统的机械能守恒D．绳的拉力对N球做负功答案 BC解析 因M球下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增大，但M球和N球组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误。5.如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放(A落地时，立即烧断细线)，B上升的最大高度是( )A.eq \f(4R,3) B.eq \f(3R,2) C.eq \f(5R,3) D．2R答案 B解析 设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒，有：3mgR－mgR＝eq \f(1,2)(3m＋m)v2解得：v＝eq \r(gR)，烧断细线后，对B运用动能定理有：－mgh＝0－eq \f(1,2)mv2解得：h＝eq \f(R,2)则B上升的最大高度为：H＝h＋R＝eq \f(3R,2)。故选B。6．(2022·日照市高一期中)如图所示，有一条长为1 m的均匀金属链条，有一半在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为30°，另一半竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后，链条滑动，则链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为(g取10 m/s2)( )A．2.5 m/s B.eq \f(5\r(5),2) m/sC.eq \r(5) m/s D.eq \f(\r(35),2) m/s答案 A解析 设链条的质量为2m，以斜面的最高点所在平面为零势能面，链条的机械能为E＝Ep＋Ek＝－eq \f(1,2)×2mg·eq \f(L,4)sin 30°－eq \f(1,2)×2mg·eq \f(L,4)＋0＝－eq \f(3,8)mgL链条全部滑出后，动能为Ek′＝eq \f(1,2)×2mv2＝mv2，重力势能为Ep′＝－2mg·eq \f(L,2)＝－mgL由机械能守恒可得E＝Ek′＋Ep′即－eq \f(3,8)mgL＝mv2－mgL，解得v＝2.5 m/s，故A符合题意。7．(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒答案 BC8.(多选)如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，固定质量为2m的小球A，固定质量为m的小球B，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是( )A．A球到达最低点时速度为零B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到起始高度答案 BCD解析 在整个过程中，A球、B球组成的系统机械能守恒，则当A到达最低点时，A减少的重力势能大于B球增加的重力势能，根据系统机械能守恒知，此时系统动能不为零，A球的速度不为零，故A错误；因为系统机械能守恒，即A、B两球的机械能总量保持不变，A球机械能的减少量等于B球机械能的增加量，故B正确；因为B球质量小于A球，当A球到达最低点时，A球重力势能的减少量大于B球的重力势能增加量，说明此时系统仍有速度，故B球要继续上升，则B球向左摆动所能达到的最高位置高于A球开始运动的高度，故C正确；因为不计一切阻力，系统机械能守恒，故当支架从左到右摆动时，A球一定能回到起始高度，故D正确。9．(多选)如图所示，物体A、B通过不可伸长的细绳及轻质弹簧连接在光滑轻质定滑轮两侧，物体A、B的质量都为m。开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )A．弹簧的劲度系数为eq \f(mg,h)B．此时弹簧的弹性势能等于mgh－eq \f(1,2)mv2C．此时物体B的速度大小也为vD．此时物体A的加速度大小为g，方向竖直向上答案 AB解析 由题意可知，此时弹簧拉力大小等于物体B的重力，即F＝mg，弹簧伸长的长度为x＝h，由F＝kx得k＝eq \f(mg,h)，故A正确；物体B对地面恰好无压力时，B的速度为零，故C错误；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mgh＝eq \f(1,2)mv2＋Ep，则弹簧的弹性势能Ep＝mgh－eq \f(1,2)mv2，故B正确；对A，根据牛顿第二定律有F－mg＝ma，又F＝mg，得a＝0，故D错误。10.如图所示，将运动员在单杠上的运动等效为“L”形物体绕直角顶点O在单杠上转动。运动员的上身质量等效在A点，质量为3m，运动员的腿部质量等效在B点，质量为2m，其中AO⊥BO，OA长为L，OB长为2L。起始时运动员身体上部直立，腿部水平，之后使身体保持形态不变绕单杠自由转动起来，重力加速度为g，不计一切阻力。求：(1)B点转到最低点时的速度大小；(2)B点由初始位置转到最低点的过程中，B的机械能增量。答案 (1)2eq \r(\f(14gL,11)) (2)eq \f(12,11)mgL解析 (1)当B点转到最低点时，根据机械能守恒定律有2mg·2L＋3mg·L＝eq \f(1,2)×3mv12＋eq \f(1,2)×2mv22由于运动员在转动过程中各部分的角速度相同，故有v1＝eq \f(1,2)v2联立以上两式解得v1＝eq \r(\f(14gL,11))，v2＝2eq \r(\f(14gL,11))；(2)设B在最低点的位置为零势能位置，则开始时B的总机械能E1＝4mgL转到最低点时，B的总机械能E2＝eq \f(1,2)×2mv22＝eq \f(56mgL,11)故机械能增量ΔE＝E2－E1＝eq \f(12,11)mgL。11.(2023·武汉市外国语学校高一期中)如图所示，质量为mA＝1 kg的物体A置于光滑水平台面上，质量为mB＝2 kg的物体B穿在光滑竖直杆上，杆与平台有一定的距离，A、B两物体通过不可伸长的轻绳跨过台面边缘的光滑小定滑轮相连。初始时刻A、B等高，轻绳恰好拉直且与台面平行。现由静止释放两物体，当物体B下落h＝1.65 m时，B的速度为vB＝5 m/s。已知g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，求：(1)轻绳对A所做的功；(2)A向右移动的距离。答案 (1)8 J (2)0.825 m解析 (1)根据题意可知，物体B下降的过程中，物体A、B组成的系统机械能守恒，设当物体B下落h＝1.65 m时，物体A的速度为vA，则有mBgh＝eq \f(1,2)mAvA2＋eq \f(1,2)mBvB2解得：vA＝4 m/s物体B下落过程中，设轻绳对A所做的功为W，对物体A，由动能定理有W＝eq \f(1,2)mAvA2解得W＝8 J(2)把物体B的速度分解，如图所示由几何关系有：vA＝vBsin θ解得：sin θ＝0.8即θ＝53°由几何关系可得，A向右移动的距离为x＝eq \f(h,sin 53°)－eq \f(h,tan 53°)＝0.825 m12.如图所示，光滑水平面与光滑半球面相连，O点为球心，一轻绳跨过光滑小滑轮连接物块A、B，A、B质量相等且均可视为质点，开始时A、B静止，轻绳水平伸直，B与O点等高，释放B后，当B和球心O的连线与竖直方向夹角为30°时，B下滑速度为v，此时A仍在水平面上，重力加速度为g，则球面半径为( )A.eq \f(7v2,4g) B.eq \f(72＋\r(3)v2,4g)C.eq \f(7\r(3)v2,4g) D.eq \f(7v2,4\r(3)g)答案 D解析 在该过程中，物块A和物块B组成的系统机械能守恒，则有mgRcos 30°＝eq \f(1,2)mvA2＋eq \f(1,2)mvB2，如图所示，将B的速度沿着平行于绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，物块A、B沿着绳子方向的分速度相等，故有vA＝vBcos 30°，其中vB＝v，联立解得R＝eq \f(7v2,4\r(3)g)，D项正确。
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