人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案

匀变速直线运动的研究 章末复习课

[体系构建]

[核心速填]

1．匀变速直线运动的规律

(1)基本公式

(2)推论

初速度为零的匀加速直线运动的规律公式及几个比例关系．

2．两类匀变速直线运动

(1)匀加速直线运动：初速度与加速度方向相同．

(2)匀减速直线运动：初速度与加速度方向相反．

3．自由落体运动

(1)特点：v0＝0，a＝g(只在重力作用下运动)．

(2)规律

4．两类图像

(1)x­t图像：直线的斜率表示速度．

(2)v­t图像：直线的斜率表示加速度，图线与时间轴包围的面积表示位移．

1.分析思路

(1)要养成画物体运动示意图或v­t图像的习惯，特别是较复杂的运动，画出示意图或v­t图像可使运动过程直观，物理过程清晰，便于分析研究．

(2)要注意分析研究对象的运动过程，搞清楚整个运动过程按运动性质的转换可以分为哪几个阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段又存在什么联系．

2．常用方法

【例1】　物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图所示，已知物体运动到斜面长度处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．

[解析]　解法一：逆向思维法

物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面．故xBC＝at，xAC＝a(t＋tBC)2

又xBC＝

解得tBC＝t.

解法二：比例法

对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)

现有xBC∶xBA＝∶＝1∶3

通过xAB的时间为t，故通过xBC的时间tBC＝t.

解法三：中间时刻速度法

利用教材中的推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度AC＝＝＝

又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝

由以上各式解得vB＝

可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是时间中点的位置，因此有tBC＝t.

解法四：图像法

利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法，作出v­t图像，如图所示，＝且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，OC＝t＋tBC

所以＝

解得tBC＝t.

[答案]　t

1．甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变，在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．

[解析]　解法一：基本公式法

设汽车甲在第一段时间间隔末(时刻t0)的速度为v，第一段时间间隔内行驶的路程为s1，加速度为a；在第二段时间间隔内行驶的路程为s2.由运动学公式得

v＝at0，s1＝at，s2＝vt0＋(2a)t

设汽车乙在时刻t0的速度为v′，在第一、二段时间间隔内行驶的路程分别为s1′、s2′.同样有v′＝(2a)t0，s2′＝(2a)t，s1′＝v′t0＋at，设甲、乙两车行驶的总路程分别为s、s′，则有

s＝s1＋s2，s′＝s1′＋s2′

联立以上各式解得，甲、乙两车各自行驶的总路程之比为

s∶s′＝5∶7.

解法二：图像法

由题意知，甲在t0时刻的速度v甲1＝at0,2t0时刻的速度v甲2＝v甲1＋2at0＝3at0；同理，乙车在t0时刻的速度v乙1＝2at0,2t0时刻的速度v乙2＝v乙1＋at0＝3at0.

作出甲、乙两车的v­t图像如图所示，由图线与t轴所围的面积知s甲＝at，s乙＝at

所以，两车各自行驶的总路程之比s甲∶s乙＝5∶7.

[答案]　5∶7

【例2】　(多选)我国“蛟龙号”深潜器经过多次试验，终于在2012年6月24日以7 020 m深度创下世界最新纪录(国外最深不超过6 500 m)，这预示着它可以征服全球99.8%的海底世界．在某次实验中，深潜器内的显示屏上显示出的深度曲线如图甲所示、速度图像如图乙所示，则下列说法中正确的是(　　)

甲　　　　　　　乙

A．图甲中h3是本次实验下潜的最大深度

B．本次实验中深潜器的最大加速度是0.025 m/s2

C．在3～4 min和6～8 min的时间段内深潜器具有向上的加速度

D．在6～10 min时间段内深潜器的平均速度为0

AC　[根据图甲深度显示，可以直接看出蛟龙号下潜的最大深度是h3，A正确；根据图乙可以求出0～1 min内蛟龙号的加速度a1＝ m/s2＝－ m/s2,3～4 min内加速度a2＝  m/s2＝ m/s2,6～8 min内加速度a3＝  m/s2＝ m/s2,8～10 min内加速度a4＝ m/s2＝－ m/s2，所以蛟龙号的最大加速度为 m/s2，B错误；3～4 min和6～8 min的时间段内潜水器的加速度方向向上，C正确；6～10 min时间段内潜水器在向上运动，位移不为零，所以平均速度不为零，D错误．]

2．如图所示的位移(x)—时间(t)图像和速度(v)—时间(t)图像中给出四条图线，甲、乙、丙、丁代表四辆车由同一地点向同一方向运动的情况，则下列说法正确的是(　　)

A．甲车做直线运动，乙车做曲线运动

B．0～t1时间内，甲车通过的路程大于乙车通过的路程

C．0～t2时间内，丙、丁两车在t2时刻相距最远

D．0～t2时间内，丙、丁两车的平均速度相等

C　[x­t图像表示的是做直线运动的物体的位移随时间的变化情况，而不是物体运动的轨迹．由x­t图像可知，甲、乙两车在0～t1时间内均做单向直线运动，且在这段时间内两车通过的位移和路程均相等，A、B错误；在v­t图像中，t2时刻丙、丁两车速度相同，故0～t2时间内，t2时刻两车相距最远，C正确；由图线可知，0～t2时间内丙车的位移小于丁车的位移，故丙车的平均速度小于丁车的平均速度，D错误．]

1.追及和相遇问题的概述

当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，这时就会涉及追及、相遇或避免相碰等问题．

2．追及和相遇问题中的一个条件和两个关系

(1)一个条件：两者速度相等，它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点．

(2)两个关系：时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．

3．追及、相遇问题两种典型情况

假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：

(1)匀加速运动的物体追匀速运动的物体，一定能追上，追上前，vA＝vB时，两者相距最远．

(2)匀减速运动的物体追匀速运动的物体，vA＝vB时，

①若已超越则相遇两次．

②若恰好追上，则相遇一次．

③若没追上，则无法相遇．

4．求解追及和相遇问题的思路和技巧

(1)解题思路

(2)解题技巧

【例3】　超载车辆是马路的隐形“杀手”，应严禁上路．一辆超载货车在平直公路上行驶，其位移由数学关系式x＝10t(式中位移x单位为m，时间t单位为s)决定．一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁边行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5 s后警车启动，并以2.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，但警车的行驶速度必须控制在90 km/h以内．问：

(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？

(2)警车启动后需多长时间才能追上货车？

思路点拨：分析追和被追的两物体，在速度相等(同向运动)时能否追上，以及两者之间的距离出现极值的临界状态，是解题的关键．

[解析]　(1)由题意可得货车速度v货＝＝10 m/s，，当两车速度相等时距离最大，则从警车启动后到两车速度相等所用时间t1＝s＝4 s

从交警发现货车从他旁边驶过到警车速度与货车速度相等，货车通过的位移x货＝v货(t0＋t1)＝10×(5.5＋4)m＝95 m

警车通过的位移x警＝at＝×2.5×42 m＝20 m

所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75 m.

(2)警车最大速度v0＝90 km/h＝25 m/s，警车从启动到达到最大速度所用时间t2＝ s＝10 s，此时货车通过的位移x货′＝(5.5＋10)×10 m＝155 m

警车通过的位移x警′＝at＝×2.5×102 m＝125 m

因为x货′＞x警′，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30 m

警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追赶上货车，则Δt＝＝2 s

所以警车启动后要经过t＝t2＋Δt＝12 s才能追上货车．

[答案]　(1)75 m　(2)12 s

3．汽车正以10 m/s的速度在平直的公路上前进，突然发现正前方有一辆自行车以4 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度大小为6 m/s2的匀减速运动，汽车恰好没碰上自行车，求关闭油门时汽车离自行车多远？

[解析]　如图所示，图中的阴影部分的面积为汽车关闭油门时与自行车的距离．

Δx＝＝·＝ m＝3 m

[答案]　3 m