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第九章 第八节 超几何分布与二项分布-备战2022年（新高考）数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
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1．条件概率及其性质
(1)条件概率的定义
对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率．
(2)条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立．
(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B相互独立．
3．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．
5．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝r)＝eq \f(C\\al(r,M)C\\al(n－r,N－M),C\\al(n,N)) (r＝0,1,2，…，l)．
即
其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
课前检测
1．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
3．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,12) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
4.一只袋内装有m个白球,n－m(n>m,m,n∈N*)个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了X个白球,下列概率等于eq \f (（n－m）Aeq \\al(2,m),Aeq \\al(3,n))的是( )
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
5．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为eq \f(4,5)，eq \f(2,3)，在操作考试中“合格”的概率依次为eq \f(1,2)，eq \f(5,6)，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．
课中讲解
考点一.条件概率
例1．（1）(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________.
（2）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
变式1．（1）一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(5,12) C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
（2）在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
考点二.相互独立事件的概率
例1．（1）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.
（2）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.
变式1.（1）(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.
（2）.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.
例2. 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是eq \f(3,4)，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是eq \f(1,12)，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是eq \f(1,4).若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
变式2.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4).
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
考点三.独立重复实验与二项分布
例1.九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：
(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列.
变式1. (2020·全国100所名校最新示范卷)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是eq \f(1,6).”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的概率分布和均值．
例2.0(2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为eq \f(2,3)，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的概率分布和均值；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
变式2.（1）甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )
6
（2）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为eq \f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
考点四. 超几何分布的应用
例1. PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示：
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．
变式1.某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的概率分布及均值．
变式2.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．
课后习题
单选题
1．(2020·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,7) D.eq \f(5,12)
2．(2019·石家庄模拟)袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,5)
3．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,4),C\\al(4,5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
C.eq \f(3,5)×eq \f(1,4) D．Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
4．在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为eq \f(2,3)，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为eq \f(1,4)，且三个公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(8,9)
C.eq \f(1,16)D.eq \f(5,32)
出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,4),C\\al(4,5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
C.eq \f(3,5)×eq \f(1,4) D．Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
7.“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是( )
A.eq \f(1,27) B.eq \f(2,27)
C.eq \f(8,81) D.eq \f(17,81)
8.(2020·濮阳模拟)如图12.61所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
图12.61
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(13,16) D.eq \f(1,4)
二.多选题
9．(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(2,5)
B．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
10.已知X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则下列说法正确的是( )
A．E(Y)＝2 B．E(Y)＝6
C．D(Y)＝2.4 D．D(Y)＝5.6
11.下列命题中，正确的命题的是( )
A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝eq \f(2,3)
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ≤0)＝eq \f(1,2)－p
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10,0.8)，则当X＝8时概率最大
12.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.9；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，且这n个人研究项目M的结果相互独立．设这个n人团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的可能取值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
三.填空题
14.(2020·江苏模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则E(X)＝________.
15.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________(结果用数值表示)．
16.一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为eq \f(2,3)，则此人得分的数学期望为________；方差为________．
17.投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．
18.设随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，则P(219.设随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(1,4)))，且D(X)＝eq \f(3,4)，则n＝________，事件“X＝2”的概率为________．
20．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是________．(用分数作答)
21．(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
22．一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p∈N，若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于eq \f(8,27)，则n＝________.
23．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为________．
24．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别各不相同的概率是________．
四.解答题
25.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为eq \f(1,2)，a，a(0＜a＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.
(1)求ξ的概率分布列及数学期望；
(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a的取值范围．
26.袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X的概率分布列，并求至少有一个红球的概率．
27.某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
X
0
1
…
l
P
eq \f(C\\al(0,M)C\\al(n－0,N－M),C\\al(n,N))
eq \f(C\\al(1,M)C\\al(n－1,N－M),C\\al(n,N))
…
eq \f(C\\al(l,M)C\\al(n－l,N－M),C\\al(n,N))
质量/g
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量
4
12
11
8
5
PM2.5日均值
(微克/立方米)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
[75,85]
频数
3
1
1
1
1
3
1．条件概率及其性质
(1)条件概率的定义
对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率．
(2)条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立．
(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B相互独立．
3．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．
5．超几何分布
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝r)＝eq \f(C\\al(r,M)C\\al(n－r,N－M),C\\al(n,N)) (r＝0,1,2，…，l)．
即
其中l＝min(M，n)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
课前检测
1．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
3．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(5,12) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
4.一只袋内装有m个白球,n－m(n>m,m,n∈N*)个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了X个白球,下列概率等于eq \f (（n－m）Aeq \\al(2,m),Aeq \\al(3,n))的是( )
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
5．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为eq \f(4,5)，eq \f(2,3)，在操作考试中“合格”的概率依次为eq \f(1,2)，eq \f(5,6)，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．
课中讲解
考点一.条件概率
例1．（1）(2019·合肥模拟)将三颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不同”，B为“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________.
（2）从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.
变式1．（1）一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(5,12) C.eq \f(5,9) D.eq \f(7,9)
（2）在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
考点二.相互独立事件的概率
例1．（1）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为________.
（2）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.
变式1.（1）(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为________.
（2）.(变设问)保持本例(2)条件不变，则该选手回答了5个问题(5个问题必须全部回答)就结束的概率为________.
例2. 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是eq \f(3,4)，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是eq \f(1,12)，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是eq \f(1,4).若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
变式2.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，eq \f(1,4).
(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
考点三.独立重复实验与二项分布
例1.九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美.某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40只统计质量，得到的结果如下表所示：
(1)若购进这批九节虾35 000 g，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；
(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选4只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为X，求X的分布列.
变式1. (2020·全国100所名校最新示范卷)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是eq \f(1,6).”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的概率分布和均值．
例2.0(2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为eq \f(2,3)，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的概率分布和均值；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
变式2.（1）甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为( )
6
（2）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现音乐的概率为eq \f(1,2)，且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
考点四. 超几何分布的应用
例1. PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示：
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的概率分布．
变式1.某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的概率分布及均值．
变式2.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．
课后习题
单选题
1．(2020·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(2,3) C.eq \f(5,7) D.eq \f(5,12)
2．(2019·石家庄模拟)袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,5)
3．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,4),C\\al(4,5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
C.eq \f(3,5)×eq \f(1,4) D．Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
4．在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为eq \f(2,3)，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为eq \f(1,4)，且三个公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,2)
5.在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续抛掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(8,9)
C.eq \f(1,16)D.eq \f(5,32)
出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A.eq \f(C\\al(3,5)C\\al(1,4),C\\al(4,5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
C.eq \f(3,5)×eq \f(1,4) D．Ceq \\al(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,9)))3×eq \f(4,9)
7.“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小明和小华两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小华获胜的概率是( )
A.eq \f(1,27) B.eq \f(2,27)
C.eq \f(8,81) D.eq \f(17,81)
8.(2020·濮阳模拟)如图12.61所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
图12.61
A.eq \f(3,16) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(13,16) D.eq \f(1,4)
二.多选题
9．(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A．P(B)＝eq \f(2,5)
B．P(B|A1)＝eq \f(5,11)
C．事件B与事件A1相互独立
D．A1，A2，A3是两两互斥的事件
10.已知X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则下列说法正确的是( )
A．E(Y)＝2 B．E(Y)＝6
C．D(Y)＝2.4 D．D(Y)＝5.6
11.下列命题中，正确的命题的是( )
A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝eq \f(2,3)
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，则P(－1<ξ≤0)＝eq \f(1,2)－p
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X～B(10,0.8)，则当X＝8时概率最大
12.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1＝0.9；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立地解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，且这n个人研究项目M的结果相互独立．设这个n人团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的可能取值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
三.填空题
14.(2020·江苏模拟)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则E(X)＝________.
15.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为________(结果用数值表示)．
16.一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为eq \f(2,3)，则此人得分的数学期望为________；方差为________．
17.投掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．
18.设随机变量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，则P(2
20．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是________．(用分数作答)
21．(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
22．一个口袋内有n(n>3)个大小相同的球，其中3个红球和(n－3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p,6p∈N，若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于eq \f(8,27)，则n＝________.
23．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为________．
24．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别各不相同的概率是________．
四.解答题
25.甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为eq \f(1,2)，a，a(0＜a＜1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ.
(1)求ξ的概率分布列及数学期望；
(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a的取值范围．
26.袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出红球的个数X的概率分布列，并求至少有一个红球的概率．
27.某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
X
0
1
…
l
P
eq \f(C\\al(0,M)C\\al(n－0,N－M),C\\al(n,N))
eq \f(C\\al(1,M)C\\al(n－1,N－M),C\\al(n,N))
…
eq \f(C\\al(l,M)C\\al(n－l,N－M),C\\al(n,N))
质量/g
[5,15)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55]
数量
4
12
11
8
5
PM2.5日均值
(微克/立方米)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
[75,85]
频数
3
1
1
1
1
3
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