人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径学案设计

第二十四章  圆

24.1  圆的有关性质

24.1.2  垂直于弦的直径

学习目标：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.

2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证

明和作图问题.

3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.

重点：理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作

图问题.

难点：灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.

一、知识链接

1.说一说什么是轴对称图形？

2.你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有什么发现？

二、要点探究

探究点1：垂径定理及其推论

说一说  (1)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

(2) 你是怎么得出结论的？

问题  如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?

归纳总结：垂径定理——垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

推导格式：∵ CD是直径，CD⊥AB，∴ AE=BE，，.

想一想  下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？

归纳总结：垂径定理的几个基本图形

典例精析

例1  如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB=     cm.

例2  如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.

思考探索  如果把垂径定理结论与题设交换一条，命题是真命题吗？

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？

证明举例  如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.

(1) CD⊥AB吗？为什么？

(2) 与相等吗？与相等吗？为什么?

归纳总结：垂径定理的推论——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

例3  已知：⊙O中弦AB∥CD，求证：.

归纳总结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.

探究点2：垂径定理的实际应用

问题  (教材P82例2)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

练一练：如图a、b，一弓形弦长为cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为       .

归纳总结：在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d(圆心到弦的距离)，弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.

三、课堂小结

1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm， 则此圆的半径为     .

2.⊙O的直径AB=20cm，∠BAC=30°则弦AC=     .

3.(分类讨论题)已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为     .

4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．

5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．你认为AC和BD有什么关系？为什么？

6.   如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=

600 m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.

拓展提升

问题  解：线段: AE=BE，劣弧:，.理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．

想一想  解：（1）是.  (2)不是，因为没有垂直.  (3) 是. （4）不是，因为CD没有过圆心.

例1   16  解析：连接OA，∵ OE⊥AB，∴ ∴AB=2AE=16cm.

例2   解: 连接OA，∵ CE⊥AB于D，∴设OC=x，则OD=x-2，根据勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得  x=5.即半径OC的长为5cm.

思考探索   解：可以.

证明举例   解：（1）CD⊥AB. 连接AO，BO，则AO=BO，又AE=BE，∴△AOE≌△BOE (SSS)，

∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.     （2）由垂径定理可得= ， = .

例3  证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）∴.

探究点2：

问题  解：如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD

就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴ AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.,.解得R≈27.3(m).即主桥拱半径约为27.3m.

练一练  2cm或12cm

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1. 5cm    2.      3.  14cm或2cm

4. 证明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC,∴∠OEA=∠ODA=∠EAD=90°.∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四边形ADOE为正方形.

5. 解：AB=CD. 过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴ AE－CE＝BE－DE即 AC＝BD.

6. 解:连接OC.设这段弯路的半径为R m,则OF=(R-90) m.∵OE⊥CD，CF= CD=600=300(m) 根据勾股定理，得解得R=545.∴这段弯路的半径为545 m.

拓展提升  3≤OP≤5.