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高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率本章综合与测试课后测评
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第五章 统计与概率本章综合与测试课后测评，共10页。
章末综合测评(二) 统计与概率
(时间：120分钟 满分：150分)[来源:中&国教育@^出#*版网]
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学校共有36个班级，每班50人，现要求每班派3名代表参加会议，在这个问题中，样本容量是( )[来源^:中&~教#*网]
A．30 B．50 [来源~:*%中@国教育出#版网]
C．108 D．150
C [由样本的定义知，样本容量n＝36×3＝108.][来^源:%中教网*&#]
2．小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
[来#源:z~zstep.*co&m%][来源:&中教*网#%~]
A．1% B．2% [来&%源:中教网@~^]
C．3% D．5%
C [由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.][中国教^#育出~&版网%]
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月[来源:*^中国#教~育出版@网]
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
A [对于选项A，由题图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由题图可知显然正确．
故选A．]
4．如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )
A．11 B．11.5 [来&%源:中教网@~^]
C．12 D．12.5[来源*:中&~#^教网]
C [由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋×5＝12，故选C．]
5．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )[www&.z@zstep~.*c%om]
[中国教育出版网*~&%@]
A．甲＜乙，m甲＞m乙 B．甲＜乙，m甲＜m乙
C．甲＞乙，m甲＞m乙 D．甲＞乙，m甲＜m乙
B [由茎叶图知m甲＝＝20，m乙＝＝29，[来源@:#中国^教育出&版网~]
∴m甲＜m乙；
甲＝(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝，[w^ww.z&zstep.com#~*][来源:*中#教&@网~]
乙＝(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝，∴甲＜乙．][来源*:中国教~育出版@网%^]
6．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )[中国#教育出@版~^网*]
A． B． [来源:zz~*s#t%^ep.com]
C． D．1
C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.故选C．]
7．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b,5能够构成等腰三角形的概率是( )
A． B．
C． D．[来源&:@z*zstep.%co^m]
C [基本事件的总数是36，[来源:中国&@%#教育出版网*]
当a＝1时，b＝5符合要求，有1种情况；
当a＝2时，b＝5符合要求，有1处情况；
当a＝3时，b＝3,5符合要求，有2种情况；
当a＝4时，b＝4,5符合要求，有2种情况；
当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6均符合要求，有6种情况；
当a＝6时，b＝5,6符合要求，有2种情况．[来&~源^:zzstep.c#o%m]
所以能够构成等腰三角形的共有14种情况，[来^*源:中教@%网&]
故所求概率为＝.]
8．已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为( )
A．10,11 B．10.5,9.5[中国教&^*%育@出版网]
C．10.4,10.6 D．10.5,10.5[w%~ww@.zzstep*.^com]
D [由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，[中^国教育出版&#网~@]
依题意，得＝10.5，即b＝21－a.
因为平均数为(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20)÷10＝10，
所以要使该样本的方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小．
又(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221，[来~源:中国教育出^&@版网#]
所以当a＝－＝10.5时，(a－10)2＋(b－10)2最小，此时b＝10.5.][来源%:^中国教育&出版*网#]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．中国篮球职业联赛(CBA)中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
ABC [由古典概型得：
P(A)＝＝0.55，故A正确；
P(B)＝＝0.18，故B正确；
P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.18＝0.27，故C正确；[来源~:@%中教#网&]
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.27＝0.45，故D错误．故选ABC．]
10．如图是2019年第一季度五省GDP的情况图，则下列描述中正确的是( )
A．与去年同期相比2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长[中国&教*^育%#出版网][中~&国^教育出#版网@]
B．2019年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
C．2019年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D．去年同期河南省的GDP总量不超过4 000亿元
ABD [由2019年第一季度五省GDP的情况图，知：[来源^:*&@中~教网]
在A中，与去年同期相比，2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，故A正确；[来~@源*&:中教#网][中国#*^教育出%版~网]
在B中，2019年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故B正确；
在C中，2019年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个，故C错误；[来源#:^中国教%育出~*版网]
在D中，去年同期河南省的GDP总量不超过4 000亿元，故D正确．]
11． 对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到两组样本数据，甲：40,53,57,62,63,57,60；乙：47,63,52,59,45,56,63.则下列判断正确的是( )
A．甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63
B．甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56
C．甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数[来源~:zzste%p.c&*#om]
D．甲消费额的方差小于乙消费额的方差
ABC [对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，正确；
对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，正确；[来@源:zzstep&.com#%^]
对于C，甲＝×(40＋53＋57＋57＋60＋62＋63)＝56，乙＝×(45＋47＋52＋56＋59＋63＋63)＝55，可得甲＞乙，正确；
对于D，s＝×[(40－56)2＋(53－56)2＋(57－56)2＋(57－56)2＋(60－56)2＋(62－56)2＋(63－56)2]≈52.571，s＝×[(45－55)2＋(47－55)2＋(52－55)2＋(56－55)2＋(59－55)2＋(63－55)2＋(63－55)2]≈45.429，
可得s＞s，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误．]
12．某企业2020年12个月的收入与支出数据的折线图如下：
已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是( )
A．该企业2020年1月至6月的总利润低于2020年7月至12月的总利润[来源:#*中教&网%~]
B．该企业2020年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2020年4月至7月的月利润持续增长[来源:*&中国~教#育出版网@]
D．该企业2020年11月份的月利润最大[来源:%中*&教网#~]
AC [由企业2020年12个月的收入与支出数据的折线图，得：[www.zz#%&step^@.com]
在A中，该企业2020年1月至6月的总利润约为：x1＝(30＋40＋35＋30＋50＋60)－(20＋25＋10＋20＋22＋30)＝118，[来#%源:中国教育&出版^网@]
该企业2020年7月至12月的总利润约为：(80＋75＋75＋80＋90＋80)－(28＋22＋31＋40＋45＋50)＝264，
∴该企业2020年1月至6月的总利润低于2020年7月至12月的总利润，故A正确；[来%@源&:^中~教网]
在B中，该企业2020年第一季度的利润约是：(30＋40＋35)－(20＋25＋10)＝50(万元)，故B错误；
在C中，该企业2020年4月至7月的月利润分别为(单位：万元)：10,28,30,52，
∴该企业2020年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；[来&源~^:@中教网*]
在D中，该企业2020年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．故选AC．][来源:zzs~t#*ep.@com^]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．[来源@~^:&中教网*]
13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
30 [由题意知，＝，解得a＝30.]
14．某校年级长为了解本校高三一模考试的数学成绩，随机抽取30名学生的一模数学成绩，如下所示：
110 144 125 63 89 121 145 123 74 96
97 142 115 68 83 116 139 124 85 98
132 147 128 133 99 117 107 113 96 141
则这30名学生的一模成绩的25%分位数为________，50%分位数为________．(本题第一空2分，第二空3分)
96 115.5 [把这30名学生的数学成绩按从小到大顺序排列为63,68,74,83,85,89,96,96,97,98,99,107,110,113,115,116,117,121,123,124,125,128,132,133,139,141,142,144,145,147.
因为25%×30＝7.5,50%×30＝15，所以这30名学生的25%分位数为x8＝96,50%分位数为＝＝115.5.]
15．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．
[由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.][来@源:%^中*教网#]
16．在10个学生中，男生有x人，现从10个学生中任选6人去参加某项活动．①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．当x＝________时，使得①为必然事件；②为不可能事件；③为随机事件．
3或4 [“至少有1个女生”为必然事件，则有x＜6；“5个男生，1个女生”为不可能事件，则有x＜5或x＝10；“3个男生，3个女生”为随机事件，则有3≤x≤7.综上所述，又由x∈N，可知x＝3或4.][来源:z#zstep%.&~com^]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：
天数
1
1
1
2
2
1
2
用水量/吨
22
38
40
41
44
50
95
(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？
(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？[来源:#*~zzste@p.^com]
(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？
[解] (1)＝(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．
(2)中位数为＝42.5(吨)．
(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．[来源:中国%教育出版@网~#*]
18．(本小题满分12分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．[www.z@&zstep.c^#%om]
[解] 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)·P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
19．(本小题满分12分)一个口袋中装有大小相同的6只球，其中4只白球，2只红球，从中一次摸出3只球．求：[www.z#zste&*p~.co@m]
(1)事件的样本空间及样本点个数．[来源:&%@*中国教育出版网#]
(2)摸出的3只球都是白球的概率．
[解] (1)分别记白球为1,2,3,4号，红球为5,6号，从中摸出3只球，则
Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)，(4,5,6)}．故样本点个数为20.
(2)记“摸出的3只球都是白球”为事件A，则A＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)}，
共有4个样本点，故P(A)＝＝.
20．(本小题满分12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：
甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.[中%&国教*育^出版~网]
乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1．
(1)哪台机床次品数的平均数较小？[来^源#&:中教%~网][来源:%中@国教~#育出&版网]
(2)哪台机床的生产状况比较稳定？[来源:中国教*^&育@%出版网]
[解] (1)甲＝×(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)＝1.5，
乙＝×(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)＝1.2.
∵甲>乙，
∴乙车床次品数的平均数较小．
(2)s＝×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，[来@~源:%中国教育&出版#网]
同理s＝0.76，∵s>s，[来源%:中~*&教^网]
∴乙车床的生产状况比较稳定．
21．(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；[ww@w.zzs%t&ep^.#com]
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足m＋2≤n的事件的概率为P1＝，
故满足n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.
22．(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
[来源:~中教&%*网^]
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；[来源:中%^&教网@#]
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．[www.%zzst@*ep#.com&]
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
[解] (1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×＝20；30×＝40；20×＝25.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.[来源:zz@s#tep.~com^*]
章末综合测评(二) 统计与概率
(时间：120分钟 满分：150分)[来源:中&国教育@^出#*版网]
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学校共有36个班级，每班50人，现要求每班派3名代表参加会议，在这个问题中，样本容量是( )[来源^:中&~教#*网]
A．30 B．50 [来源~:*%中@国教育出#版网]
C．108 D．150
C [由样本的定义知，样本容量n＝36×3＝108.][来^源:%中教网*&#]
2．小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )
[来#源:z~zstep.*co&m%][来源:&中教*网#%~]
A．1% B．2% [来&%源:中教网@~^]
C．3% D．5%
C [由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.][中国教^#育出~&版网%]
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月[来源:*^中国#教~育出版@网]
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
A [对于选项A，由题图易知月接待游客量每年7,8月份明显高于12月份，故A错；
对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；
对于选项C，D，由题图可知显然正确．
故选A．]
4．如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( )
A．11 B．11.5 [来&%源:中教网@~^]
C．12 D．12.5[来源*:中&~#^教网]
C [由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋×5＝12，故选C．]
5．从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )[www&.z@zstep~.*c%om]
[中国教育出版网*~&%@]
A．甲＜乙，m甲＞m乙 B．甲＜乙，m甲＜m乙
C．甲＞乙，m甲＞m乙 D．甲＞乙，m甲＜m乙
B [由茎叶图知m甲＝＝20，m乙＝＝29，[来源@:#中国^教育出&版网~]
∴m甲＜m乙；
甲＝(41＋43＋30＋30＋38＋22＋25＋27＋10＋10＋14＋18＋18＋5＋6＋8)＝，[w^ww.z&zstep.com#~*][来源:*中#教&@网~]
乙＝(42＋43＋48＋31＋32＋34＋34＋38＋20＋22＋23＋23＋27＋10＋12＋18)＝，∴甲＜乙．][来源*:中国教~育出版@网%^]
6．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )[中国#教育出@版~^网*]
A． B． [来源:zz~*s#t%^ep.com]
C． D．1
C [设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.故选C．]
7．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b,5能够构成等腰三角形的概率是( )
A． B．
C． D．[来源&:@z*zstep.%co^m]
C [基本事件的总数是36，[来源:中国&@%#教育出版网*]
当a＝1时，b＝5符合要求，有1种情况；
当a＝2时，b＝5符合要求，有1处情况；
当a＝3时，b＝3,5符合要求，有2种情况；
当a＝4时，b＝4,5符合要求，有2种情况；
当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6均符合要求，有6种情况；
当a＝6时，b＝5,6符合要求，有2种情况．[来&~源^:zzstep.c#o%m]
所以能够构成等腰三角形的共有14种情况，[来^*源:中教@%网&]
故所求概率为＝.]
8．已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为( )
A．10,11 B．10.5,9.5[中国教&^*%育@出版网]
C．10.4,10.6 D．10.5,10.5[w%~ww@.zzstep*.^com]
D [由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，[中^国教育出版&#网~@]
依题意，得＝10.5，即b＝21－a.
因为平均数为(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13.7＋18.3＋20)÷10＝10，
所以要使该样本的方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小．
又(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221，[来~源:中国教育出^&@版网#]
所以当a＝－＝10.5时，(a－10)2＋(b－10)2最小，此时b＝10.5.][来源%:^中国教育&出版*网#]
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9．中国篮球职业联赛(CBA)中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
100
55
18
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是( )
A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18
C．P(C)＝0.27 D．P(B＋C)＝0.55
ABC [由古典概型得：
P(A)＝＝0.55，故A正确；
P(B)＝＝0.18，故B正确；
P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.18＝0.27，故C正确；[来源~:@%中教#网&]
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.27＝0.45，故D错误．故选ABC．]
10．如图是2019年第一季度五省GDP的情况图，则下列描述中正确的是( )
A．与去年同期相比2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长[中国&教*^育%#出版网][中~&国^教育出#版网@]
B．2019年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
C．2019年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
D．去年同期河南省的GDP总量不超过4 000亿元
ABD [由2019年第一季度五省GDP的情况图，知：[来源^:*&@中~教网]
在A中，与去年同期相比，2019年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，故A正确；[来~@源*&:中教#网][中国#*^教育出%版~网]
在B中，2019年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故B正确；
在C中，2019年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个，故C错误；[来源#:^中国教%育出~*版网]
在D中，去年同期河南省的GDP总量不超过4 000亿元，故D正确．]
11． 对甲、乙两个大学生一周内每天的消费额进行统计，得到两组样本数据，甲：40,53,57,62,63,57,60；乙：47,63,52,59,45,56,63.则下列判断正确的是( )
A．甲消费额的众数是57，乙消费额的众数是63
B．甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56
C．甲消费额的平均数大于乙消费额的平均数[来源~:zzste%p.c&*#om]
D．甲消费额的方差小于乙消费额的方差
ABC [对于A，甲组数据中的众数为57，乙组数据中的众数为63，正确；
对于B，甲消费额的中位数是57，乙消费额的中位数是56，正确；[来@源:zzstep&.com#%^]
对于C，甲＝×(40＋53＋57＋57＋60＋62＋63)＝56，乙＝×(45＋47＋52＋56＋59＋63＋63)＝55，可得甲＞乙，正确；
对于D，s＝×[(40－56)2＋(53－56)2＋(57－56)2＋(57－56)2＋(60－56)2＋(62－56)2＋(63－56)2]≈52.571，s＝×[(45－55)2＋(47－55)2＋(52－55)2＋(56－55)2＋(59－55)2＋(63－55)2＋(63－55)2]≈45.429，
可得s＞s，可得甲消费额的方差大于乙消费额的方差，故D错误．]
12．某企业2020年12个月的收入与支出数据的折线图如下：
已知：利润＝收入－支出，根据该折线图，下列说法正确的是( )
A．该企业2020年1月至6月的总利润低于2020年7月至12月的总利润[来源:#*中教&网%~]
B．该企业2020年第一季度的利润约是60万元
C．该企业2020年4月至7月的月利润持续增长[来源:*&中国~教#育出版网@]
D．该企业2020年11月份的月利润最大[来源:%中*&教网#~]
AC [由企业2020年12个月的收入与支出数据的折线图，得：[www.zz#%&step^@.com]
在A中，该企业2020年1月至6月的总利润约为：x1＝(30＋40＋35＋30＋50＋60)－(20＋25＋10＋20＋22＋30)＝118，[来#%源:中国教育&出版^网@]
该企业2020年7月至12月的总利润约为：(80＋75＋75＋80＋90＋80)－(28＋22＋31＋40＋45＋50)＝264，
∴该企业2020年1月至6月的总利润低于2020年7月至12月的总利润，故A正确；[来%@源&:^中~教网]
在B中，该企业2020年第一季度的利润约是：(30＋40＋35)－(20＋25＋10)＝50(万元)，故B错误；
在C中，该企业2020年4月至7月的月利润分别为(单位：万元)：10,28,30,52，
∴该企业2020年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；[来&源~^:@中教网*]
在D中，该企业2020年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．故选AC．][来源:zzs~t#*ep.@com^]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．[来源@~^:&中教网*]
13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
30 [由题意知，＝，解得a＝30.]
14．某校年级长为了解本校高三一模考试的数学成绩，随机抽取30名学生的一模数学成绩，如下所示：
110 144 125 63 89 121 145 123 74 96
97 142 115 68 83 116 139 124 85 98
132 147 128 133 99 117 107 113 96 141
则这30名学生的一模成绩的25%分位数为________，50%分位数为________．(本题第一空2分，第二空3分)
96 115.5 [把这30名学生的数学成绩按从小到大顺序排列为63,68,74,83,85,89,96,96,97,98,99,107,110,113,115,116,117,121,123,124,125,128,132,133,139,141,142,144,145,147.
因为25%×30＝7.5,50%×30＝15，所以这30名学生的25%分位数为x8＝96,50%分位数为＝＝115.5.]
15．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．
[由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.][来@源:%^中*教网#]
16．在10个学生中，男生有x人，现从10个学生中任选6人去参加某项活动．①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．当x＝________时，使得①为必然事件；②为不可能事件；③为随机事件．
3或4 [“至少有1个女生”为必然事件，则有x＜6；“5个男生，1个女生”为不可能事件，则有x＜5或x＝10；“3个男生，3个女生”为随机事件，则有3≤x≤7.综上所述，又由x∈N，可知x＝3或4.][来源:z#zstep%.&~com^]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：
天数
1
1
1
2
2
1
2
用水量/吨
22
38
40
41
44
50
95
(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？
(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？[来源:#*~zzste@p.^com]
(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量？
[解] (1)＝(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．
(2)中位数为＝42.5(吨)．
(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．[来源:中国%教育出版@网~#*]
18．(本小题满分12分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．[www.z@&zstep.c^#%om]
[解] 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)·P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
19．(本小题满分12分)一个口袋中装有大小相同的6只球，其中4只白球，2只红球，从中一次摸出3只球．求：[www.z#zste&*p~.co@m]
(1)事件的样本空间及样本点个数．[来源:&%@*中国教育出版网#]
(2)摸出的3只球都是白球的概率．
[解] (1)分别记白球为1,2,3,4号，红球为5,6号，从中摸出3只球，则
Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,2,6)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,3,6)，(1,4,5)，(1,4,6)，(1,5,6)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,6)，(2,4,5)，(2,4,6)，(2,5,6)，(3,4,5)，(3,4,6)，(3,5,6)，(4,5,6)}．故样本点个数为20.
(2)记“摸出的3只球都是白球”为事件A，则A＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)}，
共有4个样本点，故P(A)＝＝.
20．(本小题满分12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：
甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.[中%&国教*育^出版~网]
乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1．
(1)哪台机床次品数的平均数较小？[来^源#&:中教%~网][来源:%中@国教~#育出&版网]
(2)哪台机床的生产状况比较稳定？[来源:中国教*^&育@%出版网]
[解] (1)甲＝×(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)＝1.5，
乙＝×(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)＝1.2.
∵甲>乙，
∴乙车床次品数的平均数较小．
(2)s＝×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，[来@~源:%中国教育&出版#网]
同理s＝0.76，∵s>s，[来源%:中~*&教^网]
∴乙车床的生产状况比较稳定．
21．(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；[ww@w.zzs%t&ep^.#com]
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足m＋2≤n的事件的概率为P1＝，
故满足n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.
22．(本小题满分12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．
[来源:~中教&%*网^]
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；[来源:中%^&教网@#]
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．[www.%zzst@*ep#.com&]
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
[解] (1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.
(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．
(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；0.02×10×100＝20.
由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×＝20；30×＝40；20×＝25.
故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.[来源:zz@s#tep.~com^*]
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