第11讲 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式 学案

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扇形的弧长和面积公式
三角函数的概念
同角三角函数的关系
诱导公式
考点梳理
考点一 角的概念
1．角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
角的分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al(按旋转方向,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(正角：按逆时针方向旋转形成的角,负角：按顺时针方向旋转形成的角,零角：射线没有旋转)),\a\vs4\al(按终边位置,不同分类)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(象限角：角的终边在第几象限，这, 个角就是第几象限角,轴线角：角的终边落在坐标轴上))))
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．
知识点二 弧度制及应用
1．弧度制的定义
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
2．弧度制下的有关公式
知识点三 任意角的三角函数
考点四 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2．同角三角函数基本关系式的应用技巧
考点五 三角函数的诱导公式
热难点专练
1 任意角与弧度制
例1．（1）角弧度，则所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋ (k∈Z)
（3）．（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
C．若角的终边过点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
【变式训练1-1】．（1）终边在直线上的角的集合是（ ）
A. B.
C. D.
（2）.的角属于第_________象限.
（3）．的角化为角度制的结果为__________， 的角化为弧度制的结果为__________．
2 扇形的弧长与面积公式
例2．（1）已知扇形的半径为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数为_______.
（2）已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.
（3）已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____.
【变式训练2-1】．已知在半径为6的圆O中，弦AB的长为6，
（1）求弦AB所对圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形的弧长l以及扇形的面积S．
【变式训练2-2】．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计
算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称（弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则∠AOB＝（ ）
A．B．C．D．
3 三角函数的概念
例3．（1）已知为角的终边上一点，且，那么的值等于________.
（2）若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【变式训练3-1】． 已知角的终边上一点，且
（1）求的值；
（2）求出和.
【变式训练3-2】．已知任意角的终边经过点,且
(1)求的值．(2)求与的值．
4 诱导公式
例4．（多选题）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
（2）．cs225°=（ ）
A. B. C. D.
（3）已知sin θ＝，则cs(450°＋θ)的值是( )
A． B．－
C．－D．
【变式训练4-1】．（1）已知cs（π+α），则sin（α）的值为（ ）
A．B．C．D．
（2）.已知=，则的值等于( )
A． B．－
C． D．±
【变式训练4-2】．
（1）已知，求；
（2）若，求的值；
（3）求的值；
（4）已知，求．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？
5 同角三角函数公式的应用
例5．（1）若，则____________.
（2）已知tanα＝1，则 ．
【变式训练5-1】．已知．
（1）化简f（α）；
（2）若α是第三象限角，且，求f（α）的值．
【变式训练5-2】．已知.
(1)求的值
(2)求的值.
课后作业
1．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，为其终边上一点，则( )
A．B．C．D．
2．若为第四象限角，则（ ）
A． B． C． D．
3、已知，则（ ）
A．B．6C．D．
4．（多选）给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．成立的条件是角是锐角
B．若（），则
C．若（），则
D．若，则
5．已知，，则______；______.
6、扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
7.（1）已知，求.
（2）若，求的值.
8．已知f（α）．
（1）化简f（α）；
（2）若α∈（0，π），且cs，求f（α）的值．
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝180π
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
eq \a\vs4\al(y)叫做α的正弦，记作sin α
eq \a\vs4\al(x)叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
技巧
解读
适合题型
切弦互化
主要利用公式tan θ＝eq \f(sin θ,cs θ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq \f(sin θ,cs θ)＝tan θ化成正切
表达式中含有sin θ，cs θ与tan θ
“1”的变换
1＝sin2θ＋cs2θ＝cs2θ(1＋tan2θ)＝ (sin θ±cs θ)2∓2sin θcs θ＝taneq \f(π,4)
表达式中需要利用“1”转化
和积转换
利用关系式(sin θ±cs θ)2＝1±2sin θcs θ进行变形、转化
表达式中含有sin θ±cs θ或sin θcs θ
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cs_α
cs_α
余弦
cs α
－cs_α
cs_α
－cs_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α