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2021-2022学年山东省菏泽市牡丹区八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年山东省菏泽市牡丹区八年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省菏泽市牡丹区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．（3分）在3.1415926，，π，，，，，，0.010010001…（相邻两个1之间增加1个0）这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，1， C．8，12，13 D．
3．（3分）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（ ）
A．2或﹣2 B．﹣2 C．2 D．非上述答案
5．（3分）点P在第四象限，且点P到x轴的距离为4，点P到y轴的距离为5，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5） B．（4，﹣5） C．（5，4） D．（5，﹣4）
6．（3分）对于函数y＝﹣k2x（k是常数，k≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．该函数是正比例函数
B．该函数图象过（﹣，k）
C．该函数图象经过二、四象限
D．y随着x的增大而增大
7．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．27的立方根是3
B．是的平方根
C．平方根等于它本身的数只有0
D．a2的算术平方根是a
8．（3分）一次函数y＝2x+m的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．与m的值有关
9．（3分）已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝﹣kbx+k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）将一组数，，3，，，…，按下面的方法进行排列：
，，3，，
，，，，
…
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（14，4） B．（14，5） C．（15，5） D．（16，1）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
11．（3分）的倒数是 ．
12．（3分）若实数m＝3，n＝4恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 ．
13．（3分）将直线y＝x+b沿y轴向下平移2个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为 ．
14．（3分）如图，已知圆柱底面周长是4dm，圆柱的高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 dm．
15．（3分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为 ．
16．（3分）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②乙船的速度为80km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确是 （填序号）．
三、解答题（本大题共6个小题，共52分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
17．（10分）计算：
（1）（﹣2）×﹣3；
（2）+（﹣）2﹣|2﹣5|．
18．（8分）已知|2a+b|与互为相反数．
（1）求6a﹣13b的平方根和立方根；
（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
19．（8分）小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖．
（1）当购买数量超过10本时，分别写出甲、乙两商店购买本子的费用y（元）与购买数量x（本）之间的关系式；
（2）小明要买15本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．
（3）小明现有28元，最多可买多少本练习本？
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（﹣a，2a）、（3a，2a），其中a＞0，点A为BC的中点，若BC＝4，解决下列问题：
（1）BC所在直线与x轴的位置关系是 ；
（2）求出a的值，并写出点A，C的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PAC的面积等于5？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22．（9分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
2021-2022学年山东省菏泽市牡丹区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．（3分）在3.1415926，，π，，，，，，0.010010001…（相邻两个1之间增加1个0）这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：3.1415926是有限小数，属于有理数；
＝2，＝3，是整数，，属于有理数；
，＝，是分数，属于有理数；
无理数有：π，，，0.010010001…（相邻两个1之间增加1个0），共4个．
故选：B．
2．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，1， C．8，12，13 D．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+12＝（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、82+122≠132，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、（）2+（）2＝（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】A：等式右边没有意义；
B：被开方数是带分数时先化为假分数，然后再开方；
C：正确；
D：被开方数先化为平方差的形式，然后再开方．
【解答】解：A：原式＝＝4×5＝20，∴不符合题意；
B：原式＝＝，∴不符合题意；
C：原式＝，∴符合题意；
D：原式＝＝7，∴不符合题意；
故选：C．
4．（3分）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（ ）
A．2或﹣2 B．﹣2 C．2 D．非上述答案
【分析】依据坐标轴上的点的坐标特征，即可得到x的值．
【解答】解：∵点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，
∴当2x﹣4＝0时，x＝2，
当x+2＝0时，x＝﹣2，
∴x的值为±2，
故选：A．
5．（3分）点P在第四象限，且点P到x轴的距离为4，点P到y轴的距离为5，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5） B．（4，﹣5） C．（5，4） D．（5，﹣4）
【分析】根据点P在第四象限，先判断出P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴的距离求出点P的坐标．
【解答】解：∵P在第四象限内，
∴点P的横坐标＞0，纵坐标＜0，
又∵点P到x轴的距离为4，即纵坐标是﹣4；点P到y轴的距离为5，即横坐标是5，
∴点P的坐标为（5，﹣4）．
故选：D．
6．（3分）对于函数y＝﹣k2x（k是常数，k≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．该函数是正比例函数
B．该函数图象过（﹣，k）
C．该函数图象经过二、四象限
D．y随着x的增大而增大
【分析】根据正比例函数的性质求解．
【解答】解：∵k≠0，
∴﹣k2＜0，
∴y＝﹣k2x为正比例函数，且图象经过二，四象限，
∴选项A，C正确，不符合题意．
把x＝﹣代入y＝﹣k2x得y＝﹣k2×（﹣）＝k，
∴选项B正确，不符合题意．
∵﹣k2＜0，
∴y随x增大而减小，
∴选项D错误，符合题意．
故选：D．
7．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．27的立方根是3
B．是的平方根
C．平方根等于它本身的数只有0
D．a2的算术平方根是a
【分析】A、B、C是正确的，D、a2的算术平方根是|a|．
【解答】解：A：27的立方根是3，正确，∴不符合题意；
B：﹣是的平方根，正确，∴不符合题意；
C：平方根等于它本身的数只有0，正确，∴不符合题意；
D：a2的算术平方根是a，错误，应该是|a|，∴符合题意；
故选：D．
8．（3分）一次函数y＝2x+m的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．与m的值有关
【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合a﹣1＜a＜a+1，即可得出y1＜y2＜y3．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵一次函数y＝2x+m的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），a﹣1＜a＜a+1，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
9．（3分）已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝﹣kbx+k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数y＝kx+b的图象确定k，b的取值范围，即可确定函数y＝﹣kbx+k的大致图象．
【解答】解：由函数y＝kx+b的图象可知k＜0、b＞0，
∴kb＜0，
∴﹣kb＞0，
∴函数y＝﹣kbx+k的图象经过第一、三、四象限；
故选：D．
10．（3分）将一组数，，3，，，…，按下面的方法进行排列：
，，3，，
，，，，
…
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（14，4） B．（14，5） C．（15，5） D．（16，1）
【分析】根据这列数据的排列规律得出答案即可．
【解答】解：这列数据可写为：
，，，，，
，，，，，
…
而＝，
又∵＝15是有理数，＝，
75÷5＝15，
∴在第15行，第5个数，
∴这组数中最大的有理数的位置记为（15，5），
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
11．（3分）的倒数是 ﹣ ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及倒数的定义化简得出答案．
【解答】解：﹣的倒数是：﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（3分）若实数m＝3，n＝4恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 5或4 ．
【分析】分4是直角三角形的直角边和斜边两种情况，分别求解即可．
【解答】解：①当4是直角三角形的直角边时，
如图，在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
②当4是直角三角形的斜边时，斜边为4，
故答案为：5或4．
13．（3分）将直线y＝x+b沿y轴向下平移2个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为 3 ．
【分析】先根据一次函数平移规律得出直线y＝x+b沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式，再把点A（﹣1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入，即可求出b的值．
【解答】解：将直线y＝x+b沿y轴向下平移2个单位长度，得直线y＝x+b﹣2．
∵点A（﹣1，2）关于y轴的对称点是（1，2），
∴把点（1，2）代入y＝x+b﹣2，得1+b﹣2＝2，
解得b＝3．
故答案为：3．
14．（3分）如图，已知圆柱底面周长是4dm，圆柱的高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 2 dm．
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为3dm，
∴AB＝3dm，BC＝BC′＝2dm，
∴AC2＝32+22＝13，
∴AC＝dm．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝2dm．
故答案为：2．
15．（3分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为 ．
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC﹣CD′＝2，AE＝4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2＝（4﹣x）2，再解方程即可．
【解答】解：∵AB＝3，AD＝4，
∴DC＝3，BC＝4
∴AC＝＝5，
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C＝DC＝3，DE＝D′E，
设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC﹣CD′＝2，AE＝4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2＝AE2，
22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
故答案为：．
16．（3分）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②乙船的速度为80km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确是 ①②③ （填序号）．
【分析】根据右图的图象可知A、B港口相距400km，从而可以判断①；
根据图象可知甲船4个小时行驶了400km，可以求得甲船的速度，再根据甲船的速度是乙船的1.25倍，从而可以判断②；
根据甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，可以计算出B、C港口间的距离，从而可以判断③；
根据题意和图象可以计算出乙出发4h时两船相距的距离，从而可以判断④．
【解答】解：由题意和图象可知，
A、B港口相距400km，故①正确；
∵甲船4个小时行驶了400km，
∴甲船的速度为：400÷4＝100（km/h），
∵甲船的速度是乙船的1.25倍，
∴乙船的速度为：100÷1.25＝80（km/h），
故②正确；
∵乙船的速度为80km/h，
∴400÷80＝（400+sBC）÷100﹣1，
解得：sBC＝200km，
故③正确；
乙出发4h时两船相距的距离是：4×80+（4+1﹣4）×100＝420（km），
故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共6个小题，共52分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
17．（10分）计算：
（1）（﹣2）×﹣3；
（2）+（﹣）2﹣|2﹣5|．
【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则、绝对值的性质分别化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝×﹣2×﹣3
＝3﹣6﹣3
＝﹣6；
（2）原式＝+3+2﹣2﹣（5﹣2）
＝1+5﹣2+2﹣5
＝1．
18．（8分）已知|2a+b|与互为相反数．
（1）求6a﹣13b的平方根和立方根；
（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
【分析】（1）根据|2a+b|与互为相反数，得|2a+b|+＝0，依据非负数的性质求a、b的值，然后求出（6a﹣13b）的值，最后求出它的平方根和立方根；
（2）把b＝﹣4，a＝2，代入ax2+4b﹣2＝0．解出方程即可．
【解答】解：（1）∵|2a+b|与互为相反数，
∴|2a+b|+＝0，
∴2a+b＝0，3b+12＝0，
解得b＝﹣4，a＝2，
∴6a﹣13b＝6×2﹣13×（﹣4）＝64，
∴±＝±8，＝4，
∴6a﹣13b的平方根和立方根分别是±8，4．
（2）把b＝﹣4，a＝2，代入ax2+4b﹣2＝0．
2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，
2x2＝18，
x2＝9，
x＝±3．
19．（8分）小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖．
（1）当购买数量超过10本时，分别写出甲、乙两商店购买本子的费用y（元）与购买数量x（本）之间的关系式；
（2）小明要买15本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．
（3）小明现有28元，最多可买多少本练习本？
【分析】（1）根据甲、乙两店的优惠方案，可找出y甲、y乙与x之间的函数关系；
（2）代入x＝15求出y甲、y乙的值，比较后即可得出结论；
（3）分别代入y甲＝15、y乙＝15求出x的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y甲＝1×10+0.6×1×（x﹣10）＝0.6x+4；
y乙＝0.8×1×x＝0.8x．
（2）到乙商店购买较省钱，理由如下：
当x＝15时，y甲＝0.6×15+4＝13，y乙＝0.8×15＝12，
∵13＞12，
∴小明要买15本练习本，到乙商店购买较省钱．
（3）当y甲＝28时，有0.6x+4＝28，
解得：x＝40；
当y乙＝28时，有0.8x＝28，
解得：x＝35．
∵40＞35，
∴最多可买40本练习本．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（﹣a，2a）、（3a，2a），其中a＞0，点A为BC的中点，若BC＝4，解决下列问题：
（1）BC所在直线与x轴的位置关系是 平行 ；
（2）求出a的值，并写出点A，C的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PAC的面积等于5？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由B与C的纵坐标相同，可知BC∥x轴；
（2）由点B，C的坐标分别为（﹣a，2a）、（3a，2a），BC＝4即可求出a的值，即可得出B与C的坐标，再由A为BC的中点即可求出A的坐标；
（3）设P（0，m），利用三角形的面积计算公式即可得出结论．
【解答】解：（1）平行，∵B与C的纵坐标相同，
∴BC∥x轴，
故答案为：平行；
（2）∵BC＝4，
∴3a﹣（﹣a）＝4，
∴a＝1，
∴B（﹣1，2），C（3，2），
∵A为BC的中点，
∴A（1，2）；
（3）存在，
设P（0，m），
∵AC＝2，
∴，
∴m＝﹣3或7，
∴P（0，﹣3）或（0，7）．
21．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
22．（9分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
【分析】（1）先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为4，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线l2的解析式．
【解答】解：（1）∵点A（2，0），AB＝
∴BO＝＝＝3
∴点B的坐标为（0，3）；
（2）∵△ABC的面积为4
∴×BC×AO＝4
∴×BC×2＝4，即BC＝4
∵BO＝3
∴CO＝4﹣3＝1
∴C（0，﹣1）
设l2的解析式为y＝kx+b，则
，解得
∴l2的解析式为y＝x﹣1
2021-2022学年山东省菏泽市牡丹区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．（3分）在3.1415926，，π，，，，，，0.010010001…（相邻两个1之间增加1个0）这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，1， C．8，12，13 D．
3．（3分）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（ ）
A．2或﹣2 B．﹣2 C．2 D．非上述答案
5．（3分）点P在第四象限，且点P到x轴的距离为4，点P到y轴的距离为5，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5） B．（4，﹣5） C．（5，4） D．（5，﹣4）
6．（3分）对于函数y＝﹣k2x（k是常数，k≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．该函数是正比例函数
B．该函数图象过（﹣，k）
C．该函数图象经过二、四象限
D．y随着x的增大而增大
7．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．27的立方根是3
B．是的平方根
C．平方根等于它本身的数只有0
D．a2的算术平方根是a
8．（3分）一次函数y＝2x+m的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．与m的值有关
9．（3分）已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝﹣kbx+k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）将一组数，，3，，，…，按下面的方法进行排列：
，，3，，
，，，，
…
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（14，4） B．（14，5） C．（15，5） D．（16，1）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
11．（3分）的倒数是 ．
12．（3分）若实数m＝3，n＝4恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 ．
13．（3分）将直线y＝x+b沿y轴向下平移2个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为 ．
14．（3分）如图，已知圆柱底面周长是4dm，圆柱的高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 dm．
15．（3分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为 ．
16．（3分）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②乙船的速度为80km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确是 （填序号）．
三、解答题（本大题共6个小题，共52分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
17．（10分）计算：
（1）（﹣2）×﹣3；
（2）+（﹣）2﹣|2﹣5|．
18．（8分）已知|2a+b|与互为相反数．
（1）求6a﹣13b的平方根和立方根；
（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
19．（8分）小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖．
（1）当购买数量超过10本时，分别写出甲、乙两商店购买本子的费用y（元）与购买数量x（本）之间的关系式；
（2）小明要买15本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．
（3）小明现有28元，最多可买多少本练习本？
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（﹣a，2a）、（3a，2a），其中a＞0，点A为BC的中点，若BC＝4，解决下列问题：
（1）BC所在直线与x轴的位置关系是 ；
（2）求出a的值，并写出点A，C的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PAC的面积等于5？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
22．（9分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
2021-2022学年山东省菏泽市牡丹区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）
1．（3分）在3.1415926，，π，，，，，，0.010010001…（相邻两个1之间增加1个0）这些数中，无理数的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：3.1415926是有限小数，属于有理数；
＝2，＝3，是整数，，属于有理数；
，＝，是分数，属于有理数；
无理数有：π，，，0.010010001…（相邻两个1之间增加1个0），共4个．
故选：B．
2．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．1，1， C．8，12，13 D．
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、32+42＝52，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+12＝（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、82+122≠132，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、（）2+（）2＝（）2，故是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．（3分）下列变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】A：等式右边没有意义；
B：被开方数是带分数时先化为假分数，然后再开方；
C：正确；
D：被开方数先化为平方差的形式，然后再开方．
【解答】解：A：原式＝＝4×5＝20，∴不符合题意；
B：原式＝＝，∴不符合题意；
C：原式＝，∴符合题意；
D：原式＝＝7，∴不符合题意；
故选：C．
4．（3分）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（ ）
A．2或﹣2 B．﹣2 C．2 D．非上述答案
【分析】依据坐标轴上的点的坐标特征，即可得到x的值．
【解答】解：∵点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，
∴当2x﹣4＝0时，x＝2，
当x+2＝0时，x＝﹣2，
∴x的值为±2，
故选：A．
5．（3分）点P在第四象限，且点P到x轴的距离为4，点P到y轴的距离为5，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5） B．（4，﹣5） C．（5，4） D．（5，﹣4）
【分析】根据点P在第四象限，先判断出P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴的距离求出点P的坐标．
【解答】解：∵P在第四象限内，
∴点P的横坐标＞0，纵坐标＜0，
又∵点P到x轴的距离为4，即纵坐标是﹣4；点P到y轴的距离为5，即横坐标是5，
∴点P的坐标为（5，﹣4）．
故选：D．
6．（3分）对于函数y＝﹣k2x（k是常数，k≠0），下列说法不正确的是（ ）
A．该函数是正比例函数
B．该函数图象过（﹣，k）
C．该函数图象经过二、四象限
D．y随着x的增大而增大
【分析】根据正比例函数的性质求解．
【解答】解：∵k≠0，
∴﹣k2＜0，
∴y＝﹣k2x为正比例函数，且图象经过二，四象限，
∴选项A，C正确，不符合题意．
把x＝﹣代入y＝﹣k2x得y＝﹣k2×（﹣）＝k，
∴选项B正确，不符合题意．
∵﹣k2＜0，
∴y随x增大而减小，
∴选项D错误，符合题意．
故选：D．
7．（3分）下列说法不正确的是（ ）
A．27的立方根是3
B．是的平方根
C．平方根等于它本身的数只有0
D．a2的算术平方根是a
【分析】A、B、C是正确的，D、a2的算术平方根是|a|．
【解答】解：A：27的立方根是3，正确，∴不符合题意；
B：﹣是的平方根，正确，∴不符合题意；
C：平方根等于它本身的数只有0，正确，∴不符合题意；
D：a2的算术平方根是a，错误，应该是|a|，∴符合题意；
故选：D．
8．（3分）一次函数y＝2x+m的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），则（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1
C．y2＜y1＜y3 D．与m的值有关
【分析】由k＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合a﹣1＜a＜a+1，即可得出y1＜y2＜y3．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵一次函数y＝2x+m的图象过点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3），a﹣1＜a＜a+1，
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
9．（3分）已知如图是函数y＝kx+b的图象，则函数y＝﹣kbx+k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数y＝kx+b的图象确定k，b的取值范围，即可确定函数y＝﹣kbx+k的大致图象．
【解答】解：由函数y＝kx+b的图象可知k＜0、b＞0，
∴kb＜0，
∴﹣kb＞0，
∴函数y＝﹣kbx+k的图象经过第一、三、四象限；
故选：D．
10．（3分）将一组数，，3，，，…，按下面的方法进行排列：
，，3，，
，，，，
…
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置记为（ ）
A．（14，4） B．（14，5） C．（15，5） D．（16，1）
【分析】根据这列数据的排列规律得出答案即可．
【解答】解：这列数据可写为：
，，，，，
，，，，，
…
而＝，
又∵＝15是有理数，＝，
75÷5＝15，
∴在第15行，第5个数，
∴这组数中最大的有理数的位置记为（15，5），
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
11．（3分）的倒数是 ﹣ ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及倒数的定义化简得出答案．
【解答】解：﹣的倒数是：﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（3分）若实数m＝3，n＝4恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为 5或4 ．
【分析】分4是直角三角形的直角边和斜边两种情况，分别求解即可．
【解答】解：①当4是直角三角形的直角边时，
如图，在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
②当4是直角三角形的斜边时，斜边为4，
故答案为：5或4．
13．（3分）将直线y＝x+b沿y轴向下平移2个单位长度，点A（﹣1，2）关于y轴的对称点落在平移后的直线上，则b的值为 3 ．
【分析】先根据一次函数平移规律得出直线y＝x+b沿y轴向下平移2个单位长度后的直线解析式，再把点A（﹣1，2）关于y轴的对称点（1，2）代入，即可求出b的值．
【解答】解：将直线y＝x+b沿y轴向下平移2个单位长度，得直线y＝x+b﹣2．
∵点A（﹣1，2）关于y轴的对称点是（1，2），
∴把点（1，2）代入y＝x+b﹣2，得1+b﹣2＝2，
解得b＝3．
故答案为：3．
14．（3分）如图，已知圆柱底面周长是4dm，圆柱的高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 2 dm．
【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为3dm，
∴AB＝3dm，BC＝BC′＝2dm，
∴AC2＝32+22＝13，
∴AC＝dm．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝2dm．
故答案为：2．
15．（3分）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为 ．
【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得△DEC≌△D′EC，设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC﹣CD′＝2，AE＝4﹣x，再根据勾股定理可得方程22+x2＝（4﹣x）2，再解方程即可．
【解答】解：∵AB＝3，AD＝4，
∴DC＝3，BC＝4
∴AC＝＝5，
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C＝DC＝3，DE＝D′E，
设ED＝x，则D′E＝x，AD′＝AC﹣CD′＝2，AE＝4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2＝AE2，
22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝，
故答案为：．
16．（3分）笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②乙船的速度为80km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确是 ①②③ （填序号）．
【分析】根据右图的图象可知A、B港口相距400km，从而可以判断①；
根据图象可知甲船4个小时行驶了400km，可以求得甲船的速度，再根据甲船的速度是乙船的1.25倍，从而可以判断②；
根据甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，可以计算出B、C港口间的距离，从而可以判断③；
根据题意和图象可以计算出乙出发4h时两船相距的距离，从而可以判断④．
【解答】解：由题意和图象可知，
A、B港口相距400km，故①正确；
∵甲船4个小时行驶了400km，
∴甲船的速度为：400÷4＝100（km/h），
∵甲船的速度是乙船的1.25倍，
∴乙船的速度为：100÷1.25＝80（km/h），
故②正确；
∵乙船的速度为80km/h，
∴400÷80＝（400+sBC）÷100﹣1，
解得：sBC＝200km，
故③正确；
乙出发4h时两船相距的距离是：4×80+（4+1﹣4）×100＝420（km），
故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共6个小题，共52分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
17．（10分）计算：
（1）（﹣2）×﹣3；
（2）+（﹣）2﹣|2﹣5|．
【分析】（1）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘除运算法则、绝对值的性质分别化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝×﹣2×﹣3
＝3﹣6﹣3
＝﹣6；
（2）原式＝+3+2﹣2﹣（5﹣2）
＝1+5﹣2+2﹣5
＝1．
18．（8分）已知|2a+b|与互为相反数．
（1）求6a﹣13b的平方根和立方根；
（2）解关于x的方程ax2+4b﹣2＝0．
【分析】（1）根据|2a+b|与互为相反数，得|2a+b|+＝0，依据非负数的性质求a、b的值，然后求出（6a﹣13b）的值，最后求出它的平方根和立方根；
（2）把b＝﹣4，a＝2，代入ax2+4b﹣2＝0．解出方程即可．
【解答】解：（1）∵|2a+b|与互为相反数，
∴|2a+b|+＝0，
∴2a+b＝0，3b+12＝0，
解得b＝﹣4，a＝2，
∴6a﹣13b＝6×2﹣13×（﹣4）＝64，
∴±＝±8，＝4，
∴6a﹣13b的平方根和立方根分别是±8，4．
（2）把b＝﹣4，a＝2，代入ax2+4b﹣2＝0．
2x2+4×（﹣4）﹣2＝0，
2x2＝18，
x2＝9，
x＝±3．
19．（8分）小明用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的八折卖．
（1）当购买数量超过10本时，分别写出甲、乙两商店购买本子的费用y（元）与购买数量x（本）之间的关系式；
（2）小明要买15本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．
（3）小明现有28元，最多可买多少本练习本？
【分析】（1）根据甲、乙两店的优惠方案，可找出y甲、y乙与x之间的函数关系；
（2）代入x＝15求出y甲、y乙的值，比较后即可得出结论；
（3）分别代入y甲＝15、y乙＝15求出x的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：y甲＝1×10+0.6×1×（x﹣10）＝0.6x+4；
y乙＝0.8×1×x＝0.8x．
（2）到乙商店购买较省钱，理由如下：
当x＝15时，y甲＝0.6×15+4＝13，y乙＝0.8×15＝12，
∵13＞12，
∴小明要买15本练习本，到乙商店购买较省钱．
（3）当y甲＝28时，有0.6x+4＝28，
解得：x＝40；
当y乙＝28时，有0.8x＝28，
解得：x＝35．
∵40＞35，
∴最多可买40本练习本．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为（﹣a，2a）、（3a，2a），其中a＞0，点A为BC的中点，若BC＝4，解决下列问题：
（1）BC所在直线与x轴的位置关系是 平行 ；
（2）求出a的值，并写出点A，C的坐标；
（3）在y轴上是否存在一点P，使得△PAC的面积等于5？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由B与C的纵坐标相同，可知BC∥x轴；
（2）由点B，C的坐标分别为（﹣a，2a）、（3a，2a），BC＝4即可求出a的值，即可得出B与C的坐标，再由A为BC的中点即可求出A的坐标；
（3）设P（0，m），利用三角形的面积计算公式即可得出结论．
【解答】解：（1）平行，∵B与C的纵坐标相同，
∴BC∥x轴，
故答案为：平行；
（2）∵BC＝4，
∴3a﹣（﹣a）＝4，
∴a＝1，
∴B（﹣1，2），C（3，2），
∵A为BC的中点，
∴A（1，2）；
（3）存在，
设P（0，m），
∵AC＝2，
∴，
∴m＝﹣3或7，
∴P（0，﹣3）或（0，7）．
21．（9分）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；
（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【解答】解：（1）∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，
理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴300×400＝500×CD，
∴CD＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝70（km），
∴EF＝140km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴140÷20＝7（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为7小时．
22．（9分）如图，过点A（2，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求直线l2的解析式．
【分析】（1）先根据勾股定理求得BO的长，再写出点B的坐标；
（2）先根据△ABC的面积为4，求得CO的长，再根据点A、C的坐标，运用待定系数法求得直线l2的解析式．
【解答】解：（1）∵点A（2，0），AB＝
∴BO＝＝＝3
∴点B的坐标为（0，3）；
（2）∵△ABC的面积为4
∴×BC×AO＝4
∴×BC×2＝4，即BC＝4
∵BO＝3
∴CO＝4﹣3＝1
∴C（0，﹣1）
设l2的解析式为y＝kx+b，则
，解得
∴l2的解析式为y＝x﹣1
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