【备战2023高考】数学考点全复习——第59讲《椭圆的标准方程》精选题（新高考专用）

第59讲  椭圆的标准方程

【基础知识回顾】 

1、 椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2                      (大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的                      ．

集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．

(1)若a＞c，则集合P为                        ；

(2)若a＝c，则集合P为                      ；

(3)若a＜c，则集合P为                      ．

2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝                      ，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

1、设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)

A．4   B．5 

C．8   D．10

2、若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　)

A．3   B．2＋

C．2   D.＋1

3、已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（     ）

A. m>-9 B. m<25 C. -9<m<25 D. 8<m<25

4、过点(－3，2)且与＋＝1有相同焦点的椭圆方程是（     ）

A．       B．       C．       D．

5、已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，

且PF1＝t·PF2，则t的值为__________．

考向一　椭圆的定义及其应用

例1、（1）一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

（2）求过点A(2，0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．

变式1、(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)

A．圆   B．椭圆

C．双曲线   D．抛物线

（2）△ABC的两个顶点为A(－3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1(y≠0)

B.＋＝1(y≠0)

C.＋＝1(y≠0)

D.＋＝1(y≠0)

变式2、.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)

A.椭圆  　　　   B.双曲线

C.抛物线  　　　  D.圆

方法总结：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求·，通过整体代入可求其面积等

考向二 椭圆的标准方程

例2　求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个顶点为(3，0)，(－3，0)，离心率为；

(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．

 变式1、 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；

(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；

(3)经过点P(－2，1)，Q(，－2)两点；

(4)与椭圆＋＝1有相同离心率，且经过点(2，－).

变式2、(1)已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

(2)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)

A.＋y2＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

方法总结：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤：

①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上、在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能；

②设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)；

③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；

④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．

1、【2021年新高考1卷】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（       ）

A．13 B．12 C．9 D．6

2、【2021年乙卷文科】设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．2

3、【2022年全国甲卷】已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（       ）

A． B． C． D．

4、【2019年新课标1卷理科】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A． B． C． D．

5、【2021年甲卷文科】已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

6、【2019年新课标3卷理科】设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.