考点72 几何概型练习题

考点72几何概型

一、单选题

1．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

2．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为

A． B． C． D．

3．在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为

A． B． C． D．

4．已知为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为

A． B． C． D．

5．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是

A． B． C． D．

7．设不等式表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的是

A． B． C． D．

8．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

A． B． C． D．

9．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于

A． B．

C． D．

10．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

A． B． C． D．

11．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

A． B． C． D．

12．在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为

A． B． C． D．

二、填空题

13．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为_____________．

14．利用计算机产生～之间的均匀随机数，则事件‘’的概率为_________

15．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为____.

16．在上随机地取一个数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为__________．

参考答案

1．B

【分析】

根据几何概型的概率公式即可求出.

【详解】

设“区间随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为，

“取到的数小于”， 对应集合为：，区间长度为，

所以．

故选：B．

【点睛】

本题解题关键是明确事件“取到的数小于”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．

2．C

【详解】

试题分析：由三角形面积为，，所以阴影部分面积为，所求概率为

考点：定积分及几何概型概率

3．C

【详解】

试题分析：设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）

矩形的面积S=x（12-x）＞20

∴x2-12x+20＜0

∴2＜x＜10

由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率

考点：几何概型

4．B

【详解】

根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：，故选B.

5．B

【分析】

设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．

【详解】

如图所示：

设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．

设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．

故选：B.

【点睛】

本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．

6．B

【详解】

试题分析：本题是几何概型问题，矩形面积2，半圆面积，所以质点落在以AB为直径的半圆内的概率是，故选B．

考点：几何概型．

7．D

【分析】

试题分析：阴影部分的面积为：，正方形的面积为: ,故选.

考点：1、几何概型的计算，面积比

【方法点晴】本题主要考查的是几何概型，属于中等题，由题作出所对应的图像，可得平面区域为如图所示的正方形区域，而区域 内的任意点到原点的距离大于的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案.

【详解】

8．B

【详解】

试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为，选B.

【考点】几何概型

【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.

9．C

【分析】

利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．

【详解】

解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．

故选C．

【点评】

本题考查概率的计算，考查几何概型的辨别，考查学生通过比例的方法计算概率的问题，考查学生分析问题解决问题的能力，考查学生几何图形面积的计算方法，属于基本题型．

10．B

【详解】

设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.

点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.

11．B

【详解】

试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.

【考点】几何概型

【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．

12．A

【解析】

当时，在区间上，只有或，即，根据几何概型的计算方法，这个概率值是.

【考点定位】本题考查几何概型的计算，考查根据三角函数值的范围求解角的范围，考查分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.

13．

【详解】

概率为

14．

【详解】

本题是几何概型.3a－1<0，即a<，所以P＝＝.

15．

【详解】

当-3≤x≤-1时，|x+1|-|x-2|=-3，不等式无解;

当-1<x<2时，由|x+1|-|x-2|=2x-1≥1得，x≥1，即1≤x<2;

当2≤x≤3时，由|x+1|-|x-2|=3≥1恒成立知2≤x≤3

综合知|x+1|-|x-2|≥1成立的解集为1≤x≤3

所以由几何概型知，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为=

16．

【详解】

试题分析：直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.

【考点】直线与圆位置关系；几何概型

【名师点睛】本题是高考常考知识内容，考查几何概型概率的计算.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，涉及点到直线距离的计算.本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.