考点11.1　随机事件、古典概型与几何概型（解析版）练习题

11.1　随机事件、古典概型与几何概型

【基础集训】

考点一　事件与概率

1.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”,决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”;对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析,丙是第一名的概率是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　B

2.甲、乙、丙三人站成一排照相,甲排在左边的概率是(　　)

A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　D

3.如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　C

4.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次,设事件A表示向上的一面标有奇数,事件B表示向上的一面上的数不超过3,事件C表示向上的一面上的数不小于4,则(　　)

A.A与B是互斥而非对立事件

B.A与B是对立事件

C.B与C是互斥而非对立事件

D.B与C是对立事件

【答案】　D

5.男队有号码分别为1,2,3的三名乒乓球运动员,女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球运动员,现两队各出一名运动员比赛一场,则出场的两名运动员号码不同的概率为　　　　. 

【答案】　

考点二　古典概型

6.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元共5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的红包金额之和不低于3元的概率是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　D

7.每年三月为学雷锋活动月,某班有青年志愿者男生3人,女生2人,现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动,则选出的2名志愿者性别相同的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　B

8.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　A

9.某车间共有6名工人,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数,日加工零件个数大于样本平均数的工人为优秀工人,从该车间的6名工人中任取2名,则恰有1名优秀工人的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　C

10.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人,从中随机抽取2个人进行位置调换,则经过两次这样的调换后,甲在乙左边的概率是　　　　. 

【答案】　

考点三　几何概型

11.某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　B

12.已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　B

【综合集训】

考法一　古典概型概率的求法

1.五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　C

2.某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了3份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示.若分别从(1)班,(2)班的样本中各随机抽取一份,则(2)班成绩更好的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　B

3.某同学先后投掷一枚正方体骰子两次,第一次向上的点数记为x,第二次向上的点数记为y,在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点在直线2x-y=1上的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　A

4.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是　　　　. 

【答案】　

5.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中任取两个数,要使取到的一个数大于k,另一个数小于k(其中k∈{5,6,7,8,9})的概率是,则k=　　　　. 

【答案】　7

考法二　几何概型概率的求法

6.从[-2,3]中任取一个实数a,则a的值能使函数f(x)=x+asinx在R上单调递增的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　C

7.如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是(　　)

A.1-　　　　B.　　　　C.　　　　D.1-

【答案】　A

题组一

1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　A

2.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　B

3.从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　C

4.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　　　. 

【答案】　

5.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为　　　　. 

【答案】　

6.记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是　　　　. 

【答案】　

7.如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于　　　　. 

【答案】　

8.2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?

(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.

【解析】　本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力,体现了数学运算素养.

(1)由已知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.

(2)(i)从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.

(ii)由表格知,符合题意的所有可能结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种.所以,事件M发生的概率P(M)=.

思路分析　(1)首先得出抽样比,从而按比例抽取各层的人数;(2)(i)利用列举法列出满足题意的基本事件;(ii)利用古典概型公式求概率.

题组二

1.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　D

2.在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥”的概率,p2为事件“|x-y|≤”的概率,p3为事件“xy≤”的概率,则(　　)

A.p1<p2<p3　　　　B.p2<p3<p1

C.p3<p1<p2　　　　D.p3<p2<p1

【答案】　B

3.在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为　　　　. 

【答案】　

4.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是　　　　. 

【答案】　

5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为　　　　. 

【答案】　

模拟预测

一、单项选择题(每题5分,共40分)

1.已知随机事件A,B发生的概率满足P(A∪B)=,某人猜测事件∩发生,则此人猜测正确的概率为(　　)

A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.0

【答案】　C

2.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线,“”表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　D

3.已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P()=(　　)

A.0.5　　　　B.0.1　　　　C.0.7　　　　D.0.8

【答案】　A

4.某学校组织高一和高二两个年级的同学,开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动,利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动.现有来自高一年级的4名同学,其中男生2名、女生2名;高二年级的5名同学,其中男生3名、女生2名,现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生,则选出的4名同学中恰有2名男生,且这2名男生来自同一个年级的概率是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　D

5.2019年1月1日,济南轨道交通1号线试运行,济南轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验,征求意见”活动,市民可以通过济南地铁APP抢票,小陈抢到了三张体验票,准备从四位朋友小王,小张,小刘,小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动,则小王和小李至多1人被选中的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　D

6.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上为增函数的概率是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　A

7.从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

【答案】　B

8.现采用随机模拟的方法估计一位射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率:先由计算机随机产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0表示未命中,再以三个随机数为一组,代表三次射箭的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:

807　966　191　925　271　932　812　458　569　683

489　257　394　027　552　488　730　113　537　741

根据以上数据,估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为(　　)

A.0.20　　　　B.0.25　　　　C.0.30　　　　D.0.50

【答案】　D

二、多项选择题(共5分)

9.不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是(　　)

A.2张卡片都不是红色

B.2张卡片恰有一张是红色

C.2张卡片至少有一张是红色

D.2张卡片都为绿色

【答案】　ABD

三、填空题(每题5分,共30分)

10.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动,则选出的2人中至少有1名女同学的概率为　　　　. 

【答案】　

11.十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相,现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是　　　　. 

【答案】　

12.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和”,在不超过20的质数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是　　　　. 

【答案】　

13.从分别写有1,2,3,4,5的五张卡片中任取两张,这两张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为　　　　. 

【答案】　

14.用1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数,若用a1,a2,a3,a4,a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位数字,则出现a1<a2<a3>a4>a5的五位数的概率为　　　　. 

【答案】　

15.如图所示,阴影部分是由曲线y=x2和圆x2+y2=2及x轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为　　　　. 

【答案】　-

四、解答题(共15分)

16.某学校有初级教师21人,中级教师14人,高级教师7人,现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查.

(1)求应从初级教师,中级教师,高级教师中分别抽取的人数;

(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析,求抽取的2名均为初级教师的概率.

【解析】　(1)从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的人数为3,2,1.

(2)在抽取的6名教师中,3名初级教师分别记为A1,A2,A3,2名中级教师分别记为A4,A5,1名高级教师记为A6,则抽取2名教师的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.

从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3种.

所以P(B)==.